Përmbajtje

• Të shkelësh
• Metoda 1 nga 4: Mundohuni të ndani
• Metoda 2 nga 4: Përdorimi i Teoremës së Vogël të Fermat
• Metoda 3 nga 4: Përdorimi i Testit Miller-Rabin
• Metoda 4 e 4: Përdorimi i teoremës së mbetjes kineze
• Këshilla
• Nevojat

Numrat e thjeshtë janë numra që ndahen vetëm nga vetvetiu dhe quhen 1 - numra të tjerë e përbërë numrat. Kur bëhet fjalë për të testuar nëse një numër është i thjeshtë, ka disa mundësi. Disa nga këto metoda janë relativisht të thjeshta, por aspak praktike për numrat më të mëdhenj. Testet e tjera që përdoren shpesh janë algoritme të plotë të bazuar në një probabiliteti të cilët nganjëherë gabimisht e konsiderojnë një numër si të thjeshtë. Lexoni në hapin 1 për të mësuar se si të provoni veten nëse keni të bëni me një numër të thjeshtë.

Të shkelësh

Metoda 1 nga 4: Mundohuni të ndani

Përpjekja për të ndarë është mënyra më e lehtë për të provuar një numër. Për numrat e vegjël zakonisht është mënyra më e shpejtë. Testi bazohet në përkufizimin e një numri kryesor: një numër është i thjeshtë nëse është i ndashëm vetëm në vetvete dhe 1.

1. Supozoni n është numri që dëshironi të provoni. Ndani numrin n me të gjithë numrat e plotë të ndashëm të mundshëm. Për numra më të mëdhenj si n = 101, është jashtëzakonisht jopraktike të ndahet me ndonjë numër të plotë të mundshëm më pak se n. Për fat të mirë, ka disa hile për të zvogëluar numrin e faktorëve që do të testohen.
2. Përcaktoni nëse n madje Të gjithë numrat çift janë plotësisht të ndashëm me 2. Prandaj, nëse n është çift, mund ta thuash atë n është një numër i përbërë (dhe për këtë arsye nuk është një numër kryesor). Për të përcaktuar shpejt nëse një numër është çift, duhet t'i kushtoni vëmendje shifrës së fundit. Nëse shifra e fundit është 2, 4, 6, 8 ose 0, atëherë numri është çift dhe jo i thjeshtë.
   • Përjashtimi i vetëm nga ky rregull është vetë numri 2, i cili, për shkak se është i ndashëm me vetveten dhe 1, është gjithashtu i thjeshtë. 2 është e vetmja kryeministër.
3. Pjesa n nga çdo numër midis 2 dhe n-1. Për shkak se një numër i thjeshtë nuk ka faktorë të tjerë përveç vetvetes dhe 1, dhe për shkak se faktorët e plotë janë më të vegjël se prodhimi i tyre, duke kontrolluar ndashmërinë e një numri të plotë më të vogël se n dhe më të madh se 2 do të përcaktojë nëse n është kryesor. Fillojmë pas 2 sepse numrat çift (shumëfishat e 2) nuk mund të jenë numra kryesor. Kjo është larg nga një mënyrë efikase për të provuar, siç do ta shihni më poshtë.
   • Për shembull, nëse do të donim të përdornim këtë metodë për të provuar nëse 11 është kryeministër apo jo, do të ndanim 11 me 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dhe 10, duke kërkuar për një përgjigje të plotë pa mbetur. Meqenëse asnjë nga këta numra nuk përshtatet plotësisht në 11, mund të themi se 11 është një është kryeministër.
4. Për të kursyer kohë, provoni vetëm deri në sqrt (n), të rrumbullakosura. Testimi i një numri n duke kontrolluar të gjithë numrat midis 2 dhe n-1 shpejt mund të marrë shumë kohë. Për shembull, nëse do të donim të kontrollonim nëse 103 është kryeministër me këtë metodë, do të duhet të ndajmë me 3, 4, 5, 6, 7 ... etj, deri në 102! Për fat të mirë, nuk është e nevojshme të testohet kështu. Në praktikë, është e nevojshme vetëm të testohet për faktorët midis 2 dhe rrënjës katrore të n. Nëse rrënja katrore e n nuk është numër, rrumbullakoseni në numrin e plotë më të afërt dhe provoni me këtë numër. Shihni më poshtë për një shpjegim:
   • Le të shqyrtojmë faktorët e 100. 100 = 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10, 20 × 5, 25 × 4, 50 × 2 dhe 100 × 1. Vini re se pas 10 × 10, faktorët janë të njëjtë nëse kjo për 10 × 10, vetëm atëherë kthehet. Në përgjithësi, ne mund të injorojmë faktorët e n më të madh se sqrt (n) pasi ata janë thjesht një vazhdim i faktorëve më pak se sqrt (n).
   • Le të provojmë një shembull. Nëse n = 37, atëherë nuk kemi nevojë të testojmë të gjithë numrat nga 3 në 36 për të përcaktuar nëse n është i thjeshtë. Në vend të kësaj, ne thjesht duhet të shohim numrat midis 2 dhe sqrt (37) (të rrumbullakosura).
     • sqrt (37) = 6.08 - do ta rrumbullakosim deri në 7.
     • 37 nuk është plotësisht i ndashëm me 3, 4, 5, 6 dhe 7 dhe kështu që ne mund të themi me besim se është një numri kryesor është
5. Për të kursyer edhe më shumë kohë, ne përdorim vetëm faktorë kryesorë. Possibleshtë e mundur të bëhet procesi i testimit duke ndarë edhe më të shkurtër duke mos përfshirë ata faktorë që nuk janë numra të thjeshtë. Sipas përkufizimit, çdo numër i përbërë mund të shprehet si prodhim i dy ose më shumë numrave të thjeshtë. Pra, ndarja e numrit n me një numër të përbërë është e panevojshme - kjo është ekuivalente me pjesëtimin me numra të thjeshtë disa herë. Pra, ne mund të ngushtojmë më tej listën e faktorëve të mundshëm në vetëm numrat kryesor më pak se sqrt (n).
   • Kjo do të thotë që të gjithë faktorët, si dhe faktorët që janë shumëfisha të numrave të thjeshtë, mund të anashkalohen.
   • Për shembull, le të përpiqemi të përcaktojmë nëse 103 është kryeministër apo jo. Rrënja katrore e 103 është 11 (e rrumbullakosur lart). Numrat kryesor midis 2 dhe 11 janë 3, 5, 7 dhe 11. 4, 6, 8 dhe 10 janë çift dhe 9 është shumëfish i 3, një numër i thjeshtë, kështu që ne mund ta kalojmë atë. Duke bërë këtë, ne kemi ulur listën tonë të faktorëve të mundshëm në vetëm 4 numra!
     • 103 nuk ndahet plotësisht me 3, 5, 7 ose 11, kështu që tani e dimë që 103 është një numri kryesor është

Metoda 2 nga 4: Përdorimi i Teoremës së Vogël të Fermat

Në vitin 1640, matematikan francez Pierre de Fermat propozoi së pari një teoremë (tani quhet pas tij) që mund të jetë shumë e dobishme për të përcaktuar nëse një numër është i thjeshtë. Teknikisht, testi i Fermat ka për qëllim të verifikojë që një numër është i përbërë, sesa i thjeshtë. Kjo sepse prova mund të tregojë me "siguri absolute" se një numër është i përbërë, por vetëm një "probabilitet" që një numër të jetë i thjeshtë. Teorema e vogël e Fermat është e dobishme në situata kur përpjekja për të ndarë është jopraktike dhe kur ekziston një listë e numrave në dispozicion që janë përjashtime nga teorema.

1. Supozoni n numri është për provë. Ju përdorni këtë provë për të përcaktuar nëse një numër i dhënë n është i thjeshtë. Sidoqoftë, siç u përmend më lart, kjo teoremë herë pas here mund të karakterizojë gabimisht ndonjë përbërje si kryeministër. Importantshtë e rëndësishme ta merrni parasysh këtë dhe të kontrolloni përgjigjen tuaj, e cila shpjegohet më poshtë.
2. Zgjidhni një numër të plotë a midis 2 dhe n-1 (përfshirëse). I gjithë numri i saktë që zgjidhni nuk është i rëndësishëm. Meqenëse parametrat për a përfshijnë 2 dhe n-1, mund t'i përdorni gjithashtu.
   • Një shembull: A është 100 kryeministër apo jo. Supozoni se marrim 3 si një vlerë provë - kjo është midis 2 dhe n-1, kështu që është e mjaftueshme.
3. llogarit a (mod n). Përpunimi i kësaj shprehje kërkon disa njohuri të një sistemi matematikor të quajtur matematikë modulare. Në matematikën modulare, numrat kthehen në zero me arritjen e një vlere të caktuar, e njohur gjithashtu si moduli. Ju mund ta mendoni këtë si një orë: përfundimisht akrepi i orës do të kthehet në orën 1 pas orës 12, jo në orën 13. Moduli shënohet si (mod n) Pra, në këtë hap llogaritni a me një modul të n.
   • Një metodë tjetër është llogaritja e një, pastaj pjesëtimi i saj me n, pastaj përdorimi i pjesës së mbetur si përgjigje. Llogaritësit e specializuar me një funksion modul mund të jenë shumë të dobishëm kur ndajnë numra të mëdhenj, sepse ata menjëherë mund të llogarisin pjesën e mbetur të një pjese.
   • Duke përdorur një kalkulator të tillë në shembullin tonë, mund të shohim se 3/100 ka një mbetje prej 1. Pra, 3 (mod 100) është 1.
4. Nëse e llogarisim këtë me dorë, ne përdorim eksponentin si një format të shkurtër. Nëse nuk keni një kalkulator me një funksion modul, përdorni shënimin me një eksponent për ta bërë më të lehtë procedurën për përcaktimin e mbetjes. Shikoni më poshtë:
   • Në shembullin tonë, ne llogarisim 3 me një modul prej 100. 3 është një numër shumë, shumë i madh - 515,377,520,732,011,331,036,461,129,765,621,272,702,107,522,001 - aq i madh sa bëhet shumë i vështirë për tu punuar. Në vend që të përdorim përgjigjen 48-shifrore për 3, më mirë ta shkruajmë atë si eksponent, kështu që (((((((3)*3))))*3)). Mos harroni se marrja e eksponentit të një eksponenti ka efektin e shumëzimit të eksponentëve ((x) = x).
     • Tani ne mund të përcaktojmë pjesën tjetër. Filloni duke zgjidhur ((((((3) * 3)))) * 3)) në grupin e brendshëm të kllapave dhe dilni, duke e ndarë secilin hap me 100. Pasi të kemi gjetur pjesën tjetër, do ta përdorim atë për hapin tjetër sesa përgjigjen aktuale. Shikoni më poshtë:
       • ((((((9) * 3)))) * 3)) - 9/100 nuk ka asnjë mbetje, kështu që ne mund të vazhdojmë.
       • (((((27)))) * * 3)) - 27/100 nuk ka asnjë mbetje, kështu që ne mund të vazhdojmë tutje.
       • ((((729))) * 3)) - 729/100 = 7 R 29. Pjesa tjetër është 29. Ne vazhdojmë me hapin tjetër, jo 729.
       • ((((29=841)) * 3)) - 841/100 = 8 R 41. Ne e përdorim mbetjen tonë 41 përsëri në hapin tjetër.
       • (((41 = 1681) * 3)) - 1681/100 = 16 R 81. Ne përdorim pjesën e mbetur 81 në hapin tjetër.
       • ((81*3 = 243)) - 243/100 = 2 R 43. Ne do të përdorim pjesën tonë të mbetur 43 në hapin tjetër.
       • (43 = 1849) - 1849/100 = 18 R 49. Ne do të përdorim pjesën tjetër 49 në hapin tjetër.
       • 49 = 2401 - 2401/100 = 24 R 1. mbetja jonë e fundit është 1. Me fjalë të tjera, 3 (mod 100) = 1. Vini re se kjo është e njëjta përgjigje siç kemi llogaritur në hapin e mëparshëm!
5. Gjeni nëse a (mod n) = a (mod n). Nëse jo, n është i përbërë. Nëse është e vërtetë atëherë n ndoshta, (por jo i sigurt) një numër i thjeshtë. Përsëritja e testit me vlera të ndryshme për a mund ta bëjë rezultatin më të sigurt, por ka numra të rrallë të përbërë që plotësojnë teoremën e Fermat për të gjitha vlerat e a.Këto quhen numrat Carmichael - më i vogli nga këta numra është 561.
   • Në shembullin tonë, 3 (mod 100) = 1 dhe 3 (mod 100) = 3.1 ≠ 3, kështu që mund të themi se 100 është një numër i përbërë.
6. Përdorni numrat e Carmichael për të qenë të sigurt për rezultatin tuaj. Njohja se cilët numra përmbushin serinë Carmichael përpara se të vazhdoni mund t’ju ​​kursejë shumë shqetësim nëse një numër është apo jo i thjeshtë. Në përgjithësi, numrat e Carmichael janë produkt i numrave kryesorë individualë, ku për të gjithë numrat kryesor konstaton se nëse p është pjesëtues i n, atëherë gjithashtu p-1 është pjesëtues i n-1. Lista në internet e numrave të Carmichael mund të jetë shumë e dobishme për të përcaktuar nëse një numër është i thjeshtë, duke përdorur Teoremën e Vogël të Fermat.
   
   

Metoda 3 nga 4: Përdorimi i Testit Miller-Rabin

Testi Miller-Rabin funksionon në të njëjtën mënyrë si teorema e vogël e Fermat, por merret më mirë me numra jostandardë siç janë numrat Carmichael.

1. Supozoni n është një numër tek, të cilin duam ta provojmë për parësinë. Ashtu si në metodat e treguara më sipër, n është ndryshorja e së cilës duam të përcaktojmë parësinë.
2. Presioni n-1 në formën 2 d në të cilën d është i çuditshëm Numri n është i thjeshtë nëse është tek. Pra, n - 1 duhet të jetë çift. Meqenëse n - 1 është çift, mund të shkruhet si fuqi 2 herë e një numri tek. Pra, 4 = 2 × 1; 80 = 2 5; e kështu me radhë.
   • Supozoni se duam të përcaktojmë nëse n = 321 është kryeministër. 321 - 1 = 320, të cilën mund ta shprehim si 2 × 5.
     • Në këtë rast n = 321 është një numër i përshtatshëm. Përcaktimi i n - 1 për n = 371 mund të kërkojë një vlerë të madhe për d, duke e bërë më të vështirë të gjithë procesin në një fazë të mëvonshme. 371 - 1 = 370 = 2 185
3. Zgjidh ndonjë numër a midis 2 dhe n-1. Numri i saktë që zgjidhni nuk ka rëndësi - vetëm se duhet të jetë më pak se n dhe më i madh se 1.
   • Në shembullin tonë me n = 321, ne zgjedhim një = 100.
4. llogarit a (mod n). Nëse a = 1 ose -1 (mod n), pastaj kalon n testi Miller-Rabin dhe është me siguri një numër i thjeshtë. Ashtu si me Teoremën e Vogël të Fermat, kjo provë nuk mund të përcaktojë me siguri absolute parësinë e një numri, por kërkon teste shtesë.
   • Në shembullin tonë me n = 321, a (mod n) = 100 (mod 321). 100 = 10,000,000,000 (mod 321) = 313. Ne përdorim një kalkulator të veçantë, ose metodën e stenografisë me një eksponent siç përshkruhet më parë, për të gjetur pjesën e mbetur të 100/321.
     • Meqenëse nuk kemi marrë 1 ose -1, nuk mund të themi me siguri se n është kryesor. Por ka akoma më shumë që duhet të bëjmë - lexoni më tej.
5. Meqenëse rezultati nuk është i barabartë me 1 ose -1, llogarit a, a, ... dhe kështu me radhë, deri në ad. Llogaritni një ngritur në fuqinë e d herë, deri në 2. Nëse secila prej këtyre është e barabartë me 1 ose -1 (mod n), pastaj kalon n testet Miller-Rabin dhe ndoshta është kryeministër. Nëse e keni përcaktuar që n e kalon testin, atëherë kontrolloni përgjigjen tuaj (shih hapin më poshtë). Nëse n dështon ndonjë nga këto teste, ajo është një të përbërë numri
   • Si kujtesë, në shembullin tonë, vlera e a është 100, vlera e s është 6, dhe d është 5. Ne vazhdojmë testimin siç tregohet më poshtë:
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (mod 321) = 64,64 ≠’ 1 ose -1. Vazhdoni me qetësi.
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (mod 321) = 244.244 ≠ 1 ose -1.
     • Në këtë pikë mund të ndalemi. s - 1 = 6 - 1 = 5. Tani kemi arritur 4d = 2, dhe nuk ka fuqi prej 2 herë d nën 5d. Meqenëse asnjë nga llogaritjet tona nuk u përgjigj me 1 ose -1, mund të themi se n = 321 një të përbërë numri është.
6. Nëse n kalon testin Miller-Rabin, përsëritni për vlerat e tjera të a. Nëse keni zbuluar se vlera e n mund të jetë e thjeshtë, provoni përsëri me një vlerë të ndryshme, të rastit për një për të konfirmuar rezultatin e testit. Nëse n është në të vërtetë i thjeshtë, do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të a. Nëse n është një numër i përbërë, ai do të dështojë për tre të katërtat e vlerave të a. Kjo ju jep më shumë siguri se Teorema e Vogël e Fermat, numrat e përbërë (numrat Carmichael) kalojnë provën për çdo vlerë të a.

Metoda 4 e 4: Përdorimi i teoremës së mbetjes kineze

1. Zgjidh dy numra. Një nga numrat nuk është i thjeshtë dhe i dyti është numri që testohet për parësi.
   • "Numri i Testit1" = 35
   • Numri i provës2 = 97
2. Zgjidhni përkatësisht dy pika të dhënash më të mëdha se zero dhe më pak se TestNumber1 dhe TestNumber2. Ata nuk mund të jenë të barabartë me njëri-tjetrin.
   • Të dhënat1 = 1
   • Të dhënat2 = 2
3. Llogaritni MMI (Inversi shumëzues matematikor) për Test Test1 dhe Test Number2
   • Llogaritni MMI
     • MMI1 = Numri i Testit2 ^ -1 Numri i Testit të Modës1
     • MMI2 = Numri i Testit1 ^ -1 Mod Numri i Testit2
   • Vetëm për numrat kryesor (do të ketë një rezultat për numrat jo-kryeministër, por kjo nuk është MMI):
     • MMI1 = (TestNumber2 ^ (TestNumber1-2))% TestNumber1
     • MMI2 = (TestNumber1 ^ (TestNumber-2))% TestNumber2
   • Kështu që:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. Krijoni një tabelë binare për secilin MMI deri në Log2 të Modulit
   • Për MMI1
     • F (1) = Numri i Testit 2% Numri i Provës1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% Numri i Testit 1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% Numri i Testit1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% Numri i Testit1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% Numri i Testit1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% Numri i Testit1 = 1 * 1% 35 = 1
   • Llogarit logaritmin binar të TestNumber1 - 2
     • 35 -2 = 33 (10001) baza 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 Mod 35
     • MMI1 = 27
   • Për MMI2
     • F (1) = Numri i Testit 1% Numri i Provës2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% Numri i Testit2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% Numri i Testit2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% Numri i Testit2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% Numri i Testit2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% Numri i Testit2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% Numri i Testit2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% Numri i Testit2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • Llogarit logaritmin binar të TestNumber2 - 2
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) baza 2
     • MMI2 = (((((F (64) * F (16)% 97)) * * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = (((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. Llogarit (Data1 * TestNumber2 * MMI1 + Data2 * TestNumber1 * MMI2)% (TestNumber1 * TestNumber)
   • Përgjigje = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • Përgjigje = (2619 + 4270)% 3395
   • Përgjigje = 99
6. Kontrolloni që "TestNumber1" nuk është kryeministër1
   • Llogarit (Përgjigja - Të dhënat1)% Numri i Testit1
   • 99 -1 % 35 = 28
   • Meqenëse 28 është më i madh se 0, 35 nuk është kryesor
7. Kontrolloni nëse TestNumber2 është kryesor
   • Llogarit (Përgjigje - Data2)% Numri i Testit2
   • 99 - 2 % 97 = 0
   • Meqenëse 0 është e barabartë me 0, 97 është një numër kryesor potencial
8. Përsëritni hapat 1 deri në 7 të paktën dy herë të tjera.
   • Nëse hapi 7 është i barabartë me 0:
     • Përdorni një "TestNumber1" tjetër nëse TestNumber1 nuk është kryesor.
     • Përdorni një TestNumber1 tjetër ku një TestNumber1 është në të vërtetë kryesor. Në këtë rast, hapat 6 dhe 7 janë të barabartë me 0.
     • Përdorni pika të ndryshme të të dhënave për data1 dhe data2.
   • Nëse hapi 7 është gjithmonë i barabartë me 0, atëherë probabiliteti që numri 2 të jetë numër kryesor është shumë i lartë.
   • Hapat 1 deri 7 dihet se janë të pasakta në raste të caktuara kur numri i parë nuk është i thjeshtë dhe i dyti është një faktor kryesor i numrit jo-kryesor "Numri i Testit 1". Funksionon në të gjitha skenarët ku të dy numrat janë të thjeshtë.
   • Arsyeja pse hapat 1 deri në 7 përsëriten është sepse ekzistojnë disa skenarë ku, edhe nëse TestNumber1 nuk është kryeministër dhe TestNumber2 nuk është kryeministër, secili numër nga Hapi 7 është ende zero. Këto gjendje janë të rralla. Duke ndryshuar TestNumber1 në një numër tjetër jo kryesor, nëse TestNumber2 nuk është kryeministër, TestNumber2 nuk do të jetë më i barabartë me zero, në hapin 7. Me përjashtim të rastit kur "TestNumber1" është një faktor i TestNumber2, numrat kryesor do të jenë gjithmonë zero. hapi 7

Këshilla

• 168 numrat kryesor nën 1000 janë: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
• Kur përpjekja për të bërë ndarjen është më e ngadaltë se metodat më të sofistikuara, ajo është akoma efikase për numrat më të vegjël. Edhe kur testoni numra më të mëdhenj, nuk është e pazakontë të kontrolloni së pari numrat e vegjël para se të kaloni në metodat më të përparuara.

Nevojat

• Letër, stilolaps, laps dhe / ose kalkulator për të punuar