Përmbajtje

• Të shkelësh

Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion me një ose më shumë funksione trigonometrike të lakores trigonometrike të ndryshueshme x. Zgjidhja për x do të thotë gjetja e vlerave të lakoreve trigonometrike, funksionet trigonometrike të të cilave bëjnë që ekuacioni trigonometrik të jetë i vërtetë.

• Përgjigjet, ose vlerat e kurbave të zgjidhjes shprehen në gradë ose radian. Shembuj:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 gradë; x = 37,12 gradë; x = 178.37 gradë

• Shënim: Në rrethin njësi, funksionet trigonometrike të çdo lakore janë të barabarta me funksionet trigonometrike të këndit përkatës. Rrethi i njësisë përcakton të gjitha funksionet trigonometrike të kurbës së ndryshores x. Përdoret gjithashtu si provë në zgjidhjen e ekuacioneve themelore trigonometrike dhe të pabarazive.
• Shembuj të ekuacioneve trigonometrike:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + ahur x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Rrethi i njësisë.
   • Ky është një rreth me Radius = 1, ku O është origjina. Rrethi njësi përcakton 4 funksione kryesore trigonometrike të kurbës së ndryshueshme x, të cilën e rrethon në drejtim të kundërt të akrepave të sahatit.
   • Kur kurba me vlerën x ndryshon në rrethin e njësisë, atëherë mban:
   • Boshti horizontal OAx përcakton funksionin trigonometrik f (x) = cos x.
   • Boshti vertikal OBy përcakton funksionin trigonometrik f (x) = sin x.
   • Boshti vertikal AT përcakton funksionin trigonometrik f (x) = tan x.
   • Boshti horizontal BU përcakton funksionin trigonometrik f (x) = ahur x.

• Rrethi i njësisë përdoret gjithashtu për të zgjidhur ekuacionet themelore trigonometrike dhe pabarazitë standarde trigonometrike duke marrë parasysh pozicionet e ndryshme të kurbës x në rreth.

Të shkelësh

1. Kuptoni metodën e zgjidhjes.
   • Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik ju e shndërroni atë në një ose më shumë ekuacione themelore trigonometrike. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike në fund të fundit rezulton në zgjidhjen e 4 ekuacioneve themelore trigonometrike.
2. Di të zgjidh ekuacionet themelore trigonometrike.
   • Ekzistojnë 4 ekuacione themelore trigonometrike:
   • mëkat x = a; cos x = a
   • tan x = a; ahur x = a
   • Ju mund të zgjidhni ekuacionet themelore trigonometrike duke studiuar pozicionet e ndryshme të kurbës x në rrethin trigonometrik dhe duke përdorur një tabelë (ose llogaritëse) të shndërrimit trigonometrik. Për të kuptuar plotësisht mënyrën e zgjidhjes së këtyre dhe ekuacioneve themelore trigonometrike të ngjashme, lexoni librin vijues: "Trigonometria: Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike dhe pabarazitë" (Amazon E-book 2010).
   • Shembull 1. Zgjidh për mëkatin x = 0.866. Tabela e konvertimit (ose llogaritësi) jep përgjigjen: x = Pi / 3. Rrethi trigonometrik jep një kurbë tjetër (2Pi / 3) me të njëjtën vlerë për sinusin (0.866). Rrethi trigonometrik siguron gjithashtu një pafundësi përgjigjesh të quajtura përgjigje të zgjeruara.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi dhe x2 = 2Pi / 3. (Përgjigjet brenda një periudhe (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi dhe x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Përgjigje të hollësishme).
   • Shembulli 2. Zgjidh: cos x = -1/2. Llogaritësit japin x = 2 Pi / 3. Rrethi trigonometrik jep gjithashtu x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi dhe x2 = - 2Pi / 3. (Përgjigjet për periudhën (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi dhe x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Përgjigje të Zgjatura)
   • Shembulli 3. Zgjidh: cirk (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Përgjigje)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Përgjigja e zgjeruar)
   • Shembulli 4. Zgjidh: ahur 2x = 1.732. Llogaritësit dhe rrethi trigonometrik japin:
   • x = Pi / 12; (Përgjigje)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Përgjigje të Zgjatura)
3. Mësoni transformimet e përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
   • Për të kthyer një ekuacion të caktuar trigonometrik në ekuacione standarde trigonometrike, përdorni shndërrimet standarde algjebrike (faktorizimi, faktori i zakonshëm, polinomet ...), përkufizimet dhe vetitë e funksioneve trigonometrike dhe identitetet trigonometrike. Ka rreth 31, 14 prej të cilave janë identitete trigonometrike, nga 19 në 31, të quajtura gjithashtu identitete transformimi, sepse ato përdoren në shndërrimin e ekuacioneve trigonometrike. Shihni librin e mësipërm.
   • Shembulli 5: Ekuacioni trigonometrik: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 mund të shndërrohet në një produkt të ekuacioneve themelore trigonometrike duke përdorur identitete trigonometrike: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Ekuacionet themelore trigonometrike për të zgjidhur janë: cos x = 0; mëkat (3x / 2) = 0; dhe cos (x / 2) = 0.
4. Gjeni kthesat për të cilat njihen funksionet trigonometrike.
   • Para se të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike, duhet të dini se si të gjeni shpejt kthesat për të cilat njihen funksionet trigonometrike. Vlerat e shndërrimit të kthesave (ose këndeve) mund të përcaktohen me tabela trigonometrike ose kalkulatorin.
   • Shembull: Zgjidh për cos x = 0.732. Llogaritësi jep zgjidhjen x = 42,95 gradë. Rrethi i njësisë jep kthesa të tjera me të njëjtën vlerë për kosinusin.
5. Vizato harkun e përgjigjes në rrethin njësi.
   • Mund të krijoni një grafik për të ilustruar zgjidhjen në rrethin e njësisë. Pikat përfundimtare të këtyre kthesave janë shumëkëndësha të rregullt në rrethin trigonometrik. Disa shembuj:
   • Pikat përfundimtare të kurbës x = Pi / 3 + k. Pi / 2 është një katror në rrethin e njësisë.
   • Lakoret e x = Pi / 4 + k.Pi / 3 përfaqësohen nga koordinatat e një gjashtëkëndëshi në rrethin e njësisë.
6. Mësoni si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike.
   • Nëse ekuacioni i dhënë trigonometrik përmban vetëm një funksion trigonometrik, zgjidheni atë si një ekuacion standard trigonometrik. Nëse ekuacioni i dhënë përmban dy ose më shumë funksione trigonometrike, ekzistojnë 2 metoda të zgjidhjes, në varësi të opsioneve për shndërrimin e ekuacionit.
     • A. Metoda 1.
   • Shndërroni ekuacionin trigonometrik në një produkt të formës: f (x) .g (x) = 0 ose f (x) .g (x) .h (x) = 0, ku f (x), g (x) dhe h (x) janë ekuacione themelore trigonometrike.
   • Shembulli 6. Zgjidh: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Zgjidhja. Zëvendësoni mëkatin 2x në ekuacion duke përdorur identitetin: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Pastaj zgjidh 2 funksione standarde trigonometrike: cos x = 0, dhe (sin x + 1) = 0.
   • Shembulli 7. Zgjidh: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Zgjidhja: Shndërroni këtë në një produkt, duke përdorur identitetet trigonometrike: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tani zgjidhni 2 ekuacionet themelore trigonometrike: cos 2x = 0, dhe (2cos x + 1) = 0.
   • Shembulli 8. Zgjidh: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Zgjidhja: Shndërroni këtë në një produkt, duke përdorur identitetet trigonometrike: -kos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni 2 ekuacionet themelore trigonometrike: cos 2x = 0, dhe (2sin x + 1) = 0.
     • B. Qasja 2.
   • E shndërron ekuacionin trig në një ekuacion trig me vetëm një funksion unik trig si një ndryshore. Ka disa këshilla se si të zgjidhni një variabël të përshtatshëm. Variablat e zakonshëm janë: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, cirk x = t dhe cirk (x / 2) = t.
   • Shembulli 9. Zgjidh: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Zgjidhja. Në ekuacion, zëvendësoni (cos ^ 2x) me (1 - sin ^ 2x) dhe thjeshtoni ekuacionin:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Tani përdorni sin x = t. Ekuacioni bëhet: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik me 2 rrënjë: t1 = -1 dhe t2 = 9/5. Mund të refuzojmë t2-në e dytë, sepse> 1. Tani zgjidhim për: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Shembulli 10. Zgjidh: tan x + 2 tan ^ 2 x = ahur x + 2.
   • Zgjidhja. Përdorni tan x = t. Shndërroni ekuacionin e dhënë në një ekuacion me t si një ndryshore: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Zgjidh për t nga ky produkt, pastaj zgjidh ekuacionin standard trigonometrik tan x = t për x.
7. Zgjidh ekuacione të veçanta trigonometrike.
   • Ekzistojnë disa ekuacione të veçanta trigonometrike që kërkojnë disa shndërrime specifike. Shembuj:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Mësoni vetitë periodike të funksioneve trigonometrike.
   • Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, që do të thotë se ato kthehen në të njëjtën vlerë pas një rotacioni gjatë një periudhe. Shembuj:
     • Funksioni f (x) = sin x ka 2Pi si periudhë.
     • Funksioni f (x) = tan x ka Pi si periudhë.
     • Funksioni f (x) = sin 2x ka Pi si periudhë.
     • Funksioni f (x) = cos (x / 2) ka 4Pi si periudhë.
   • Nëse periudha specifikohet në ushtrimet / testin, atëherë thjesht duhet të gjeni kurbën (t) x brenda kësaj periudhe.
   • SHENIM: Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike është e ndërlikuar dhe shpesh çon në gabime dhe gabime. Prandaj, përgjigjet duhet të kontrollohen me kujdes. Pas zgjidhjes, mund të kontrolloni përgjigjet duke përdorur një llogaritës grafik, për një paraqitje të drejtpërdrejtë të ekuacionit të dhënë trigonometrik R (x) = 0. Përgjigjet (si rrënjë katrore) jepen në presje dhjetore. Si shembull, Pi ka një vlerë prej 3.14