Përmbajtje

• Të shkelësh
• Metoda 1 nga 3: Përdorimi i metodës së zëvendësimit
• Metoda 2 nga 3: Përdorimi i metodës së eliminimit
• Metoda 3 e 3: Grafikoni ekuacionet
• Këshilla
• Paralajmërime

Në një "sistem ekuacionesh" ju kërkohet të zgjidhni dy ose më shumë ekuacione në të njëjtën kohë. Kur këto dy përmbajnë variabla të ndryshëm, të tilla si x dhe y, ose a dhe b, mund të jetë e vështirë në shikim të parë të shohësh se si t'i zgjidhësh ato. Për fat të mirë, pasi të dini se çfarë të bëni, ju duhen vetëm disa aftësi themelore të matematikës (dhe nganjëherë edhe disa njohuri për fraksionin) për të zgjidhur problemin. Nëse kërkohet, ose nëse jeni një student vizual, mësoni se si të grafikoni ekuacionet gjithashtu. Grafikimi (vizatimi) i një grafiku mund të jetë i dobishëm për të "parë se çfarë po ndodh", ose për të kontrolluar punën tuaj, por gjithashtu mund të jetë më i ngadaltë se metodat e tjera dhe nuk funksionon me të gjitha sistemet e ekuacioneve.

Të shkelësh

Metoda 1 nga 3: Përdorimi i metodës së zëvendësimit

1. Zhvendosni ndryshoret në anët e ndryshme të ekuacionit. Kjo metodë e "zëvendësimit" fillon me "zgjidhjen për x" (ose ndonjë ndryshore tjetër) në një nga ekuacionet. Për shembull, kemi ekuacionet e mëposhtme: 4x + 2y = 8 dhe 5x + 3x = 9. Para së gjithash, ne shikojmë krahasimin e parë. Rregulloni duke zbritur 2y nga secila anë dhe do të merrni: 4x = 8-2y.
   • Kjo metodë shpesh përdor thyesat në një fazë të mëvonshme. Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e eliminimit më poshtë nëse preferoni të mos punoni me thyesat.
2. Ndani të dy anët e ekuacionit për të zgjidhur për "x". Pasi të keni termin x (ose çfarëdo ndryshore që përdorni) në njërën anë të ekuacionit, ndani të dy anët e ekuacionit për të izoluar ndryshoren. Për shembull:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Futeni përsëri në ekuacionin tjetër. Sigurohuni që të ktheheni në Të tjerët krahasimi, jo ai që keni përdorur tashmë. Në atë ekuacion, ju zëvendësoni ndryshoren që keni zgjidhur, duke lënë vetëm një ndryshore. Për shembull:
   • Tani e dini se: x = 2 - ½y.
   • Ekuacioni i dytë, të cilin nuk e keni ndryshuar akoma, është: 5x + 3x = 9.
   • Në ekuacionin e dytë, zëvendësoni x me "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Zgjidh për ndryshoren e mbetur. Tani keni një ekuacion me vetëm një ndryshore. Përdorni teknikat e zakonshme të algjebrës për të zgjidhur atë ndryshore. Nëse variablat anulojnë njëra-tjetrën, kaloni në hapin e fundit. Përndryshe, ju përfundoni me një përgjigje për një nga ndryshoret tuaja:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Nëse nuk e kuptoni këtë hap, mësoni se si të shtoni thyesa. Kjo është shpesh, por jo gjithmonë, e nevojshme me këtë metodë).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Përdorni përgjigjen për të zgjidhur për ndryshoren tjetër. Mos bëni gabim të mbaroni problemin përgjysmë. Ju do të duhet të fusni përsëri përgjigjen që morët në një nga ekuacionet origjinale në mënyrë që të mund të zgjidhni për ndryshoren tjetër:
   • Tani e dini se: y = -2
   • Një nga ekuacionet origjinale është: 4x + 2y = 8. (Të dy ekuacionet mund të përdoren për këtë hap).
   • Lidhni -2 në vend të y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Di çfarë të bëjmë nëse të dy ndryshoret anulojnë njëra-tjetrën. Kur ti x = 3y + 2 ose merrni një përgjigje të ngjashme në ekuacionin tjetër, jeni duke u përpjekur të merrni një ekuacion me vetëm një ndryshore. Ndonjëherë ju përfundoni me një ekuacion në vend pa ndryshoret. Kontrolloni dy herë punën tuaj dhe sigurohuni që të zëvendësoni ekuacionin e parë (të rirregulluar) në ekuacionin e dytë, dhe jo ekuacionin e parë. Nëse jeni i sigurt që nuk keni bërë ndonjë gabim, do të merrni një nga rezultatet e mëposhtme:
   • Nëse përfundoni me një ekuacion pa ndryshore dhe i cili nuk është i vërtetë (p.sh. 3 = 5), atëherë keni problemin pa zgjidhje. (Nëse i keni gdhendur ekuacionet, do të shihni se ato janë paralele dhe nuk ndërpriten kurrë).
   • Nëse përfundoni me një ekuacion pa ndryshore, por ato mirë është e vërtetë (për shembull, 3 = 3), atëherë ai ka problemin një numër i pafund zgjidhjesh. Të dy ekuacionet janë saktësisht të barabarta. (Nëse i grafikoni dy ekuacionet, do të shihni se ato mbivendosen saktësisht).

Metoda 2 nga 3: Përdorimi i metodës së eliminimit

1. Përcakton ndryshoren që do të eliminohet. Ndonjëherë ekuacionet do të "eleminojnë" njëri-tjetrin në një ndryshore sa më shpejt që t'i shtoni ato së bashku. Për shembull, kur bëni ekuacionet 3x + 2y = 11 dhe 5x - 2y = 13 kombinon, "+ 2y" dhe "-2y" do të anulojnë njëra-tjetrën, me të gjitha "y"s eliminohen nga ekuacioni. Shikoni ekuacionet në problemin tuaj për të zbuluar nëse ndonjë prej variablave do të eliminohet në këtë mënyrë. Nëse asnjë nga variablat nuk eliminohet, lexoni në hapin tjetër për këshilla.
2. Shumëzoni një ekuacion për të anuluar një ndryshore. (Kaloni këtë hap nëse variablat tashmë kanë eleminuar njëra-tjetrën). Nëse asnjë nga ndryshoret në ekuacione nuk anulohet vetvetiu, atëherë duhet të ndryshoni njërën nga ekuacionet në mënyrë që të ndodhë. Kjo është më e lehtë për tu kuptuar me një shembull:
   • Supozoni se keni sistemin e ekuacioneve 3x - y = 3 dhe -x + 2y = 4.
   • Le të ndryshojmë ekuacionin e parë në mënyrë që ndryshorja të jetë y eliminohet. (Ju gjithashtu mund ta bëni këtë për X bëj dhe merr të njëjtën përgjigje).
   • - y " i ekuacionit të parë duhet të eliminohet me + 2 vjeç Në ekuacionin e dytë. Ne mund ta bëjmë këtë duke - y shumëzoni me 2.
   • Ne shumëzojmë të dy anët e ekuacionit të parë me 2, si më poshtë: 2 (3x - y) = 2 (3), dhe kështu 6x - 2y = 6. Tani do - 2 vjeç bie larg kundër + 2 vjeç në ekuacionin e dytë.
3. Kombinoni dy ekuacionet. Për të qenë në gjendje të kombinoni dy ekuacione, shtoni anët e majtë dhe të djathtë së bashku. Nëse e keni shkruar saktë ekuacionin, njëra nga ndryshoret duhet të anulohet përkundrejt tjetrës. Këtu është një shembull që përdor të njëjtat ekuacione si hapi i fundit:
   • Ekuacionet tuaja janë: 6x - 2y = 6 dhe -x + 2y = 4.
   • Kombinoni anët e majta: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Kombinoni anët e duhura: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Zgjidh për ndryshoren e fundit. Thjeshtoni ekuacionin e kombinuar dhe më pas përdorni algjebrën bazë për të zgjidhur për ndryshoren e fundit. Nëse pas thjeshtimit nuk ka mbetur asnjë variabël, vazhdoni në hapin e fundit në këtë seksion. Përndryshe, duhet të përfundoni me një përgjigje të thjeshtë për një nga ndryshoret tuaja. Për shembull:
   • Ju keni: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Gruponi variablat X dhe y me njëri-tjetrin: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Thjeshtoni: 5x = 10
   • Zgjidh për x: (5x) / 5 = 10/5, kështu që x = 2.
5. Zgjidh për ndryshoret e tjera. Keni gjetur një variabël, por nuk keni mbaruar akoma. Zëvendësoni përgjigjen tuaj në një nga ekuacionet origjinale në mënyrë që të mund të zgjidhni për ndryshoren tjetër. Për shembull:
   • Ti e di atë x = 2, dhe ai një nga ekuacionet tuaja origjinale 3x - y = 3 është
   • Lidhni 2, në vend të x: 3 (2) - y = 3.
   • Zgjidh y në ekuacionin: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, kështu që 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Di çfarë të bëjmë kur të dy ndryshoret anulojnë njëra-tjetrën. Ndonjëherë kombinimi i dy ekuacioneve rezulton në një ekuacion që nuk ka kuptim ose nuk ju ndihmon të zgjidhni problemin. Kontrolloni dy herë punën tuaj nga fillimi, por nëse nuk keni gabuar, shkruani një nga përgjigjet e mëposhtme:
   • Nëse ekuacioni juaj i kombinuar nuk ka ndryshore dhe nuk është i vërtetë (si 2 = 7) atëherë ekziston pa zgjidhje e cila vlen për të dy ekuacionet. (Nëse i grafikoni të dy ekuacionet, do të shihni se ato janë paralele dhe nuk ndërpriten kurrë).
   • Nëse ekuacioni juaj i kombinuar nuk ka ndryshore dhe është i vërtetë (të tilla si 0 = 0), atëherë ka një numër i pafund zgjidhjesh. Të dy ekuacionet janë në të vërtetë identike. (Nëse i vendosni këto në një grafik, do të shihni se ato përputhen plotësisht me njëra-tjetrën).

Metoda 3 e 3: Grafikoni ekuacionet

1. Përdoreni këtë metodë vetëm kur specifikohet. Në qoftë se nuk jeni duke përdorur një kompjuter ose një kalkulator grafiku, shumë sisteme ekuacionesh mund të zgjidhen përafërsisht vetëm duke përdorur këtë metodë. Mësuesi juaj ose libri juaj i matematikës mund t'ju kërkojë të përdorni këtë metodë, kështu që ju ndoshta jeni njohur me ekuacionet grafike të tilla si linjat. Ju gjithashtu mund ta përdorni këtë metodë për të kontrolluar nëse përgjigjet tuaja nga ndonjë prej metodave të tjera janë të sakta.
   • Ideja themelore është që ju të grafikoni të dy ekuacionet dhe të përcaktoni pikën ku ato kryqëzohen. Vlerat x dhe y në këtë pikë japin vlerën e x dhe vlerën e y në sistemin e ekuacioneve.
2. Zgjidh të dy ekuacionet për y. Mbani të dy ekuacionet të ndara, dhe përdorni algjebrën për të kthyer secilin ekuacion në formën "y = __x + __". Për shembull:
   • Ekuacioni i parë është: 2x + y = 5. Ndryshojeni këtë në: y = -2x + 5.
   • Ekuacioni i dytë është: -3x + 6y = 0. Ndryshojeni këtë në 6y = 3x + 0, dhe thjeshtojeni në y = ½x + 0.
   • A janë të dy ekuacionet identike, atëherë e gjithë vija bëhet një "pikë kryqëzimi". Shkruaj: zgjidhje pafund.
3. Vizatoni një sistem koordinativ. Vizatoni një "bosht y" vertikal dhe "x-bosht" horizontal në një fletë letre grafike. Filloni në pikën ku kryqëzohen vijat dhe emërtoni numrat 1, 2, 3, 4, etj. Deri në boshtin y dhe përsëri djathtas përgjatë boshtit x. Etiketoni numrat -1, -2, etj përgjatë boshtit y poshtë dhe majtas përgjatë boshtit x.
   • Nëse nuk keni letër grafike, përdorni një vizore për të siguruar që numrat të jenë të vendosur në mënyrë të barabartë.
   • Nëse jeni duke përdorur numra të mëdhenj ose shifra dhjetore, mund t'ju duhet të shkallëzoni tabelën. (Për shembull 10, 20, 30 ose 0.1, 0.2, 0.3 në vend të 1, 2, 3).
4. Vizato kryqëzimin y për secilën drejtëz. Pasi të keni një ekuacion në formë y = __x + __ mund të filloni ta grafikoni duke vendosur një pikë ku vija ndërpret boshtin y. Kjo është gjithmonë në një vlerë y, e barabartë me numrin e fundit në këtë ekuacion.
   • Në shembujt e përmendur më parë, një rresht (y = -2x + 5) në boshtin y 5. Linja tjetër (y = ½x + 0) kalon nëpër pikën zero 0. (Këto janë pikat (0.5) dhe (0.0) në grafik).
   • Tregoni secilën nga linjat me një ngjyrë të ndryshme, nëse është e mundur.
5. Përdorni pjerrësinë për të vazhduar vizatimin e vijave. Në formën y = __x + __, është numri për x-të pjerrësia jashtë linjës. Sa herë që x rritet me një, vlera y do të rritet me vlerën e pjerrësisë. Përdorni këtë informacion për të gjetur pikën në grafik për secilën rresht kur x = 1. (Përndryshe, zëvendësoni x = 1 për secilin ekuacion dhe zgjidhni për y).
   • Në shembullin tonë, linja ka y = -2x + 5 një shpat i -2. Në x = 1 rreshti 2 zbret poshtë nga pika x = 0. Vizato segmentin e drejtëzës ndërmjet (0.5) dhe (1.3).
   • Rregulla y = ½x + 0ka një pjerrësi të ½. Në x = 1, vija shkon lart nga pika x = 0. Vizato segmentin e drejtëzës ndërmjet (0,0) dhe (1, ½).
   • Kur vijat kanë të njëjtën pjerrësi vijat nuk do të ndërpriten kurrë, kështu që nuk ka zgjidhje për sistemin e ekuacioneve. Shkruaj: pa zgjidhje.
6. Vazhdoni të vizatoni linjat derisa të kryqëzohen. Ndaloni dhe shikoni tabelën tuaj. Nëse linjat tashmë kanë kaluar njëra-tjetrën, kaloni në hapin tjetër. Përndryshe, ju merrni një vendim bazuar në atë që bëjnë linjat:
   • Ndërsa linjat lëvizin drejt njëra-tjetrës, ju vazhdoni të vizatoni pikat në atë drejtim.
   • Nëse linjat janë duke u larguar nga njëra-tjetra, kthehuni prapa dhe vizatoni pikat në drejtimin tjetër, duke filluar nga x = -1.
   • Nëse linjat nuk janë askund afër njëra-tjetrës, hidheni përpara dhe vizatoni pika më larg, të tilla si x = 10.
7. Gjeni përgjigjen në kryqëzimin e linjave. Sapo kryqëzohen të dy vijat, vlerat x dhe y në atë pikë janë zgjidhja e problemit. Nëse jeni me fat, përgjigjja do të jetë një numër i plotë. Për shembull, në shembujt tanë, të dy linjat kryqëzohen (2,1) keshtu eshte pergjigja juaj x = 2 dhe y = 1. Në disa sisteme ekuacioni, linjat do të kryqëzohen në një vlerë ndërmjet dy numrave të plotë, dhe nëse grafiku juaj nuk është jashtëzakonisht i saktë, do të jetë e vështirë të thuhet se ku është kjo. Nëse është kështu, mund të jepni një përgjigje si: "x është midis 1 dhe 2". Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e zëvendësimit ose metodën e eliminimit për të gjetur përgjigjen e saktë.

Këshilla

• Ju mund ta kontrolloni punën tuaj duke futur përgjigjet përsëri në ekuacionet origjinale. Nëse ekuacionet janë të vërteta (për shembull, 3 = 3), atëherë përgjigjja juaj është e saktë.
• Në metodën e eliminimit, ndonjëherë ju duhet të shumëzoni një ekuacion me një numër negativ për të eleminuar një ndryshore.

Paralajmërime

• Këto metoda nuk mund të përdoren nëse keni të bëni me një numër fuqie, siç është x. Për të mësuar më shumë rreth ekuacioneve të këtij lloji, do t'ju duhet një udhëzues për faktorizimin e katrorit me dy ndryshore.