Ekuacionet kuadratike të faktorëve

Përmbajtje

Të shkelësh
Fillimi
Metoda 1 nga 6: Provë dhe gabim
Metoda 2 e 6: Zbërthimi
Metoda 3 e 6: Lojë e trefishtë
Metoda 4 e 6: Dallimi midis dy shesheve
Metoda 5 e 6: Formula ABC
Metoda 6 e 6: Përdorimi i një kalkuluesi
Këshilla
Paralajmërime
Nevojat

Një polinom përmban një ndryshore (x) për një fuqi të caktuar dhe disa terma dhe / ose konstante. Për të faktorizuar një polinom, do të duhet të ndash shprehjen në shprehje më të vogla që shumëzohen së bashku. Kjo kërkon një nivel të caktuar të matematikës dhe prandaj mund të jetë e vështirë të kuptohet nëse nuk jeni akoma aq larg.

Të shkelësh

Fillimi

Ekuacioni. Formati standard për një ekuacion kuadratik është:

sëpatë + bx + c = 0
Filloni duke rregulluar termat në ekuacionin tuaj nga fuqia më e lartë në fuqinë më të ulët. Për shembull, merrni:

6 + 6x + 13x = 0
Ne do të renditim këtë shprehje në mënyrë që të bëhet më e lehtë për të punuar - thjesht duke lëvizur termat:

6x + 13x + 6 = 0
Gjeni faktorët duke përdorur një nga metodat më poshtë. Faktorizimi i polinomit do të rezultojë në dy shprehje më të vogla që mund të shumëzohen së bashku për të marrë polinomin origjinal:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Në këtë shembull, (2x +3) dhe (3x + 2) janë faktorët nga shprehja origjinale, 6x + 13x + 6.
Kontrolloni punën tuaj! Shumëzoni faktorët që keni gjetur. Kombinoni të njëjtat terma dhe keni mbaruar. Fillojme me:

(2x + 3) (3x + 2)
Le ta provojmë këtë, duke shumëzuar termat duke përdorur EBBL (e para - e jashtme - e brendshme - e fundit), e cila na jep:

6x + 4x + 9x + 6
Tani shtojmë 4x dhe 9x bashkë sepse ato janë terma të barabartë. Ne e dimë që faktorët janë të saktë sepse marrim përsëri ekuacionin me të cilin kemi filluar:

6x + 13x + 6

Metoda 1 nga 6: Provë dhe gabim

Nëse keni një polinom mjaft të thjeshtë, mund të jeni në gjendje të shihni se cilët faktorë janë menjëherë. Për shembull, pas disa praktikave, shumë matematikanë janë në gjendje të shohin shprehjen 4x + 4x + 1 ka faktorët (2x + 1) dhe (2x + 1) thjesht sepse ata e kanë parë këtë shumë herë. (Natyrisht, kjo nuk do të jetë aq e lehtë me polinome më të komplikuara.) Le të marrim një shprehje më pak standarde për këtë shembull:

3x + 2x - 8

Shkruani faktorët e a termi dhe c termi Përdorni formatin sëpatë + bx + c = 0, njohin a dhe c termat dhe shënoni cilët faktorë ekzistojnë. Për 3x + 2x - 8, kjo do të thotë:

a = 3 dhe ka 1 çift faktorësh: 1 * 3
c = -8 dhe kjo ka 4 çifte faktorësh: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 dhe -1 * 8.
Shkruani dy palë kllapa me një hapësirë të zbrazët. Këtu futni konstante të secilës shprehje:

(x) (x)
Mbushni hapësirën para x-ve me një numër faktorësh të mundshëm të a vlera Per a term në shembullin tonë, 3x, ekziston vetëm 1 mundësi:

(3x) (1x)
Plotësoni 2 hapësirat pas x-ve me disa faktorë për konstante. Supozoni se kemi zgjedhur 8 dhe 1. Futni këtu:

(3x8) (X1)
Përcaktoni cilat shenja (plus ose minus) duhet të jenë ndërmjet ndryshoreve x dhe numrave. Në varësi të karaktereve të shprehjes origjinale, është e mundur të zbulohet se cilat duhet të jenë personazhet e konstanteve. Le të marrim dy konstante të dy faktorëve h dhe k per te permendur:

Nëse sëpatë + bx + c atëherë (x + h) (x + k)
Nëse sëpatë - bx - c ose sëpatë + bx - c atëherë (x - h) (x + k)
Nëse sëpata - bx + c atëherë (x - h) (x - k)
Në shembullin tonë, 3x + 2x - 8, shenja është: (x - h) (x + k), e cila na jep dy faktorët e mëposhtëm:

(3x + 8) dhe (x - 1)
Provoni zgjedhjen tuaj me shumëzimin e parë-e jashtme-e brendshme-e fundit. Një provë e shpejtë e parë për të parë nëse afati i mesëm është të paktën vlera e saktë. Nëse jo, atëherë ndoshta keni një të gabuar c faktorët e zgjedhur. Le ta provojmë përgjigjen:

(3x + 8) (x - 1)
Me shumëzim marrim:

3x - 3x + 8x - 8
Thjeshtoni këtë shprehje duke shtuar termat e ngjashëm (-3x) dhe (8x), dhe kemi:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Tani e dimë që morëm faktorët e gabuar:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Ndërroni zgjedhjet tuaja, nëse është e nevojshme. Në shembullin tonë, le të provojmë 2 dhe 4, në vend të 1 dhe 8:

(3x + 2) (x - 4)
Tani tonat c term i barabartë me -8, por produkti i jashtëm / i brendshëm i (3x * -4) dhe (2 * x) është -12x dhe 2x, që nuk është i saktë b term ose + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x 2x
Përmbysni porosinë nëse është e nevojshme. Le të përpiqemi të rrokullisim 2 dhe 4:

(3x + 4) (x - 2)
Tani tonat c term (4 * 2 = 8) dhe akoma në rregull, por produktet e jashtme / të brendshme janë -6x dhe 4x. Kur i kombinojmë këto, fitojmë:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Tani jemi afër afërsisht 2x aty ku duam të jemi, por shenja nuk është akoma e saktë.
Kontrolloni dy herë personazhet tuaj nëse është e nevojshme. Ne e mbajmë këtë porosi, por e ndërrojmë me shenjën minus:

(3x - 4) (x + 2)
Tani c termi është akoma në rregull, dhe produktet e jashtme / të brendshme janë tani (6x) dhe (-4x). Sepse:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Tani e shohim 2x pozitivisht nga problemi origjinal. Këta duhet të jenë faktorët e duhur.

Metoda 2 e 6: Zbërthimi

Kjo metodë jep të gjithë faktorët e mundshëm të saj a dhe c termat dhe i përdor ato për të gjetur se cilët faktorë janë të saktë. Nëse numrat janë shumë të mëdhenj, ose supozimi i metodave të tjera do të zgjasë shumë, përdorni këtë mënyrë. Nje shembull:

6x + 13x + 6

Shumëzoni a term me c termi Në këtë shembull, a është 6 dhe c është gjithashtu 6.

6 * 6 = 36
Gjej b term me faktorizim dhe testim. Ne jemi duke kërkuar për 2 numra që janë faktorë të a * c , dhe së bashku b term (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Zëvendësoni dy numrat që merrni në ekuacionin tuaj si shuma e b termi Le të k dhe h për të përfaqësuar 2 numrat që kemi, 4 dhe 9:

sëpatë + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktori i polinomit sipas grupimit. Organizoni ekuacionin në mënyrë që të mund të ndani pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy termave të parë dhe dy termave të fundit. Të dy faktorët duhet të jenë të njëjtë. Shtoni GGD-të së bashku dhe vendosini në kllapa, pranë faktorëve; si rezultat ju merrni dy faktorët:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 e 6: Lojë e trefishtë

Ngjashëm me metodën e zbërthimit. Metoda "lojë e trefishtë" shqyrton faktorët e mundshëm të produktit të a dhe c dhe e përdorin atë për të gjetur se çfarë b duhet të jetë. Merrni ekuacionin si shembull:

8x + 10x + 2

Shumëzoni a term me c termi Ashtu si me metodën e dekompozimit, ne e përdorim këtë për të përcaktuar kandidatët për b termi Në këtë shembull: a është 8 dhe c është 2

8 * 2 = 16
Gjeni 2 numrat me këtë numër si prodhim dhe me një shumë të barabartë me b termi Ky hap është i njëjtë me metodën e zbërthimit - ne testojmë kandidatët për konstante. Produkti i a dhe c termat është 16, dhe c termi është 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Merrni këto 2 numra dhe zëvendësojini në formulën "loja e trefishtë". Merrni 2 numrat nga hapi i mëparshëm - le t'i marrim h dhe k thirrni ata - dhe vendosini në shprehjen:

((sëpatë + h) (sëpatë + k)) / a

Me këtë marrim:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Shikoni me cilin nga dy termat në emërues mund të ndahet plotësisht a. Në këtë shembull, ne po shohim nëse (8x + 8) ose (8x + 2) mund të ndahet me 8. (8x + 8) është i pjesëtueshëm me 8, kështu që ne e ndajmë këtë term me a dhe tjetrin e lëmë të paprekur.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termi që kemi mbajtur këtu është ai që mbetet pas ndarjes me a termi: (x + 1)
Merrni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (gcd) nga cilido ose të dy termat, nëse është e mundur. Në këtë shembull shohim që termi i dytë ka gcd prej 2, sepse 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinoni këtë përgjigje me termin që zbuluat në hapin e mëparshëm. Këta janë faktorët e krahasimit tuaj.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 e 6: Dallimi midis dy shesheve

Ju mund të njihni disa koeficientë në një polinom si "katrorë", ose gjithashtu si prodhim i 2 numrave identikë. Duke kuptuar se cilat janë katrorët, ju mund të jeni në gjendje të faktorizoni polinomet shumë më shpejt. Ne marrim ekuacionin:

27x - 12 = 0

Hiqni gcd nga ekuacioni, nëse është e mundur. Në këtë rast ne shohim se 27 dhe 12 janë të dy të pjesëtueshëm me 3, kështu që ne mund t'i vendosim ato veçmas:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Përcaktoni nëse koeficientët e ekuacionit tuaj janë katrorë. Për të përdorur këtë metodë është e nevojshme të përcaktohet rrënja e termave. (Vini re se ne kemi lënë shenjat minus - meqenëse këta numra janë katrorë, ato mund të jenë prodhim i 2 numrave negativë)

9x = 3x * 3x dhe 4 = 2 * 2
Duke përdorur rrënjën katrore që keni përcaktuar, tani mund të shkruani faktorët. Ne marrim a dhe c vlerat nga hapi i mëparshëm: a = 9 dhe c = 4, kështu që rrënjët e kësaj janë: - √a = 3 dhec = 2. Këta janë koeficientët e shprehjeve të faktorizuara:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 e 6: Formula ABC

Nëse duket se asgjë nuk funksionon dhe nuk mund ta zgjidhni ekuacionin, përdorni formulën abc. Merrni shembullin vijues:

x + 4x + 1 = 0

Vendosni vlerat përkatëse në formulën abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Tani kemi shprehjen:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Zgjidh për x. Tani duhet të merrni 2 vlera për x. Këto janë:

x = -2 + √ (3) ose x = -2 - √ (3)
Përdorni vlerat e x për të përcaktuar faktorët. Vendosni vlerat x të marra në dy ekuacionet si konstante. Këta janë faktorët tuaj. Nëse u përgjigjemi të dyve h dhe k ne shkruajmë dy faktorët si më poshtë:

(x - h) (x - k)
Në këtë rast, përgjigjja përfundimtare është:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 6 e 6: Përdorimi i një kalkuluesi

Nëse lejohet (ose e detyrueshme) të përdoret një kalkulator i grafikëve, kjo e bën shumë më të lehtë faktorizimin, veçanërisht për provimet dhe provimet. Udhëzimet e mëposhtme janë për një kalkulator të grafikimit TI. Ne përdorim ekuacionin nga shembulli:

y = x - x - 2

Futni ekuacionin në llogaritësin tuaj. Ju do të përdorni zgjidhjen e ekuacioneve, i njohur gjithashtu si ekrani [Y =].
Grafikoni ekuacionin me llogaritësin. Pasi të keni hyrë në ekuacion, shtypni [GRAPH] - tani duhet të shihni një vijë të lakuar, një parabolë si një paraqitje grafike të ekuacionit tuaj (dhe kjo është një parabolë sepse kemi të bëjmë me një polinom).
Gjeni se ku parabolë kryqëzohet me boshtin x. Meqenëse një ekuacion kuadratik shkruhet tradicionalisht si ax + bx + c = 0, këto janë dy vlerat x që e bëjnë ekuacionin të barabartë me zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Nëse nuk mund të shihni se ku parabolë kryqëzohet me boshtin x, shtypni [2] dhe më pas [TRACE]. Shtypni [2] ose zgjidhni "zero". Lëvizni kursorin në të majtë të një kryqëzimi dhe shtypni [ENTER]. Lëvizni kursorin në të djathtë të një kryqëzimi dhe shtypni [ENTER]. Lëvizni kursorin sa më afër pikës së kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Llogaritësi do të tregojë vlerën x. Bëni këtë edhe për kryqëzimin tjetër.
Vendosni vlerat x që keni marrë në dy shprehjet e faktorizuara. Nëse marrim dy vlerat x h dhe k si term, shprehja që përdorim duket si kjo:

(x - h) (x - k) = 0
Kështu që dy faktorët tanë bëhen:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Këshilla

Nëse e keni faktorizuar polinomin me formulën abc dhe përgjigja juaj përmban rrënjë, mund t'i ktheni vlerat x në thyesa për t'i kontrolluar ato.
Nëse një term nuk ka koeficient para tij, atëherë koeficienti është i barabartë me 1, p.sh. x = 1x.
Nëse keni një llogaritës TI-84, ekziston një program i quajtur SOLVER që mund të zgjidhë një ekuacion kuadratik për ju. Zgjidh gjithashtu polinome me shkallë më të lartë.
Pas shumë praktikave, përfundimisht do të jeni në gjendje të zgjidhni polinomet me zemër. Por për të qenë në anën e sigurt është më mirë t'i shkruash gjithmonë.
Nëse një term nuk ekziston, koeficienti është zero. Atëherë mund të jetë e dobishme të rishkruhet ekuacioni. P.sh. x + 6 = x + 0x + 6.

Paralajmërime

Nëse po e mësoni këtë koncept në orën e matematikës, kushtojini vëmendje asaj që mësuesi po shpjegon dhe mos përdorni vetëm metodën tuaj të preferuar. Mund t'ju kërkohet të përdorni një metodë specifike për një provë, ose llogaritësit e grafikëve mund të mos lejohen.