Përmbajtje

• Të shkelësh
• Pjesa 1 nga 3: Kuptoni se "ndarja" është e pamundur
• Pjesa 2 nga 3: Përmbysja e matricës
• Pjesa 3 nga 3: Shumëzoni matricat për të plotësuar problemin
• Këshilla
• Paralajmërime

Nëse dini si të shumëzoni dy matrica, atëherë jeni në rrugën tuaj për të qenë në gjendje të "ndani" një matricë me një matricë tjetër. Ndarja është në thonjëza sepse matricat nuk mund të ndahen teknikisht. Në vend të kësaj, ne shumëzojmë matricën një me anasjelltas nga një matricë tjetër. Këto llogaritje shpesh përdoren për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare.

Të shkelësh

Pjesa 1 nga 3: Kuptoni se "ndarja" është e pamundur

1. Kuptoni se çfarë është "ndarja" e një matricë. Teknikisht, nuk ka diçka të tillë si ndarja e matricës. Ndarja e vargjeve nuk është një funksion i përcaktuar. Gjëja më e afërt është shumëzimi me anasjelltën e një matrice tjetër. Me fjalë të tjera, megjithëse [A] ÷ [B] nuk është përcaktuar, ju mund ta zgjidhni problemin [A] * [B]. Meqenëse këto dy ekuacione janë ekuivalente me shkallëzuesit, kjo "ndjehet" si një ndarje matricore, por është e rëndësishme të përdoret terminologjia e saktë.
   • Vini re se [A] * [B] dhe [B] * [A] nuk janë i njëjti problem. Ju mund të duhet t'i zgjidhni të dyja për të gjetur të gjitha përgjigjet e mundshme.
   • Për shembull, në vend të ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Kontrolloni se "matrica e pjesëtuesit" është katrore. Për të qenë në gjendje të përcaktojë anasjelltën e një matricë, ajo duhet të jetë një matricë katrore, pra me të njëjtin numër të rreshtave dhe kolonave. Nëse matrica që doni të përmbysni nuk është një matricë katrore, atëherë nuk ka zgjidhje unike për problemin.
     • Termi "matricë pjesëtuese" është disi i lirë, sepse në të vërtetë nuk është një nënproblemë. Për [A] * [B], kjo i referohet matricës [B]. Në shembullin tonë kjo është ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Kontrolloni nëse dy matricat mund të shumëzohen së bashku. Për të qenë në gjendje të shumëzojmë dy matrica, numri i kolonave në matricën e parë duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave në matricën e dytë. Nëse kjo nuk funksionon në të dy rastet ([A] * [B] ose [B] * [A]), nuk ka zgjidhje për problemin.
       • Për shembull, nëse [A] është një matricë 4 x 3 (4 rreshta, 3 kolona) dhe [B] një matricë 2 x 2 (2 rreshta, 2 kolona) atëherë nuk ka zgjidhje. [A] * [B] nuk punon sepse 3 ≠ 2, dhe [B] * [A] nuk punon sepse 2 ≠ 4.
       • Dije që e anasjellta [B] gjithmonë ka të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash si matrica origjinale [B]. Nuk ka nevojë të llogaritet e anasjellta për të përfunduar këtë hap.
       • Në shembullin tonë të problemit, të dy matricat janë 2x2, kështu që ato mund të shumëzohen në çfarëdo renditje.
     • Gjeni përcaktuesin e një matrice 2 x 2. Ekziston një tjetër kontroll i kërkuar para se të mund të përcaktoni anasjelltën e një matricë. Përcaktuesi i matricës nuk mund të jetë zero. Nëse përcaktori është zero, matrica nuk ka të anasjelltë. Ja se si e përcaktoni përcaktuesin në rastin më të thjeshtë (matrica 2 x 2):
       • Matrica 2 x 2: përcaktori i matricës ${ displaystyle { start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Gjeni përcaktuesin e një matricë më të madhe. Nëse matrica juaj është 3 x 3 ose më e madhe, atëherë duhet edhe një punë më shumë për të përcaktuar përcaktuesin:
         • Matricë 3 x 3: Zgjidhni një element dhe kryqëzoni rreshtin dhe kolonën që i përket. Gjeni përcaktuesin e matricës së mbetur 2 x 2, shumëzoni me elementin e zgjedhur dhe mbani një tabelë të karakterit matricë për përcaktimin e karakterit. Përsëritni për dy elementët e tjerë në të njëjtën rresht dhe kolonë si i pari që keni zgjedhur, pastaj shtoni të tre përcaktuesit. Lexoni këtë artikull për udhëzime hap pas hapi dhe këshilla se si ta bëni këtë më shpejt.
         • Matrica më të mëdha: Rekomandohet përdorimi i një llogaritësi grafiku ose softueri. Metoda është e njëjtë si për një matricë 3 x 3, por kërkon shumë kohë nëse e bën këtë me dorë. Për shembull, për të gjetur përcaktuesin e një matrice 4 x 4, së pari duhet të gjeni përcaktuesit e katër matricave 3 x 3.
       • Vazhdoni Nëse matrica juaj nuk është një katror, ​​ose përcaktuesi i saj është zero, shkruajeni atë si "jo një zgjidhje unike". Problemi është përfunduar. Nëse matrica është një katror dhe përcaktuesi i saj nuk është zero, vazhdoni me pjesën tjetër për hapin tjetër: përcaktimin e anasjelltë.

Pjesa 2 nga 3: Përmbysja e matricës

1. Ndërroni pozicionet e elementeve të diagonës kryesore 2 x 2. Nëse keni të bëni me një matricë 2 x 2, mund të përdorni një shkurtore për ta bërë këtë llogaritje shumë më të lehtë. Hapi i parë i këtij rregullimi të shpejtë është të ndërroni elementin e sipërm të majtë me elementin e poshtëm të djathtë. Për shembull:
   • ${ displaystyle { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Merrni të kundërtën e dy elementeve të tjerë, por lërini në atë pozicion. Me fjalë të tjera, shumëzoni atë të sipërm gjykoj dhe në fund u larguaelemente me -1:
     • ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$Merrni reciproke të përcaktorit. Gjetët përcaktuesin e kësaj matrice në seksionin e mësipërm, kështu që nuk ka nevojë ta rillogaritni atë. Thjesht shkruani reciproke të 1 / (përcaktues):
       • Në shembullin tonë, përcaktori është 13. Reciproke e kësaj është ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$Shumëzoni matricën e re me reciproke të përcaktorit. Shumëzoni secilin element të matricës së re me reciproke që sapo gjetët. Matrica rezultuese është e anasjellta e matricës 2 × 2:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$Konfirmoni që e anasjellta është e saktë. Për të kontrolluar punën tuaj, shumëzoni të anasjelltën me matricën origjinale. Nëse e anasjellta është e saktë, produkti i tyre është gjithmonë identiteti i matricës, ${ displaystyle { start {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$Gjeni përmbysjen e matricës së një matricë 3 x 3 ose më të madhe. Nëse nuk jeni i ri në këtë proces, mund të kurseni veten shumë kohë duke përdorur një llogaritës grafik ose një softuer matematikor me matrica më të mëdha. Nëse duhet ta llogaritni atë me dorë, këtu është një përmbledhje e shpejtë e një metode që mund të përdorni:
           • Shtoni matricën e identitetit I në anën e djathtë të matricës tuaj. Për shembull, [B] → [B | Unë]. Matrica e identitetit ka elemente "1" përgjatë diagonës kryesore, dhe elemente "0" në të gjitha pozicionet e tjera.
           • Bëni redaktimet e rreshtave për të zvogëluar matricën derisa ana e majtë të jetë në formën e skelonit të rreshtit dhe vazhdoni të zvogëloni derisa ana e majtë të jetë matrica e identitetit.
           • Kur të përfundojë i gjithë operacioni, matrica juaj do të jetë në formën [I | B]. Me fjalë të tjera, ana e djathtë do të jetë e anasjellta e matricës origjinale.

Pjesa 3 nga 3: Shumëzoni matricat për të plotësuar problemin

1. Shkruani të dy ekuacionet e mundshme. Në "matematikën e zakonshme" me shkallët, shumëzimi është komutues; 2 x 6 = 6 x 2. Kjo nuk vlen për matricat, kështu që mund t'ju duhet të zgjidhni dy probleme:
   • [A] * [B] është zgjidhja X për problemin X[B] = [A].
   • [B] * [A] është zgjidhja X për problemin [B]X = [A].
   • Nëse kjo është pjesë e një ekuacioni, sigurohuni që të aplikoni të njëjtin veprim në të dy anët e ekuacionit. Nëse [A] = [C], atëherë [B] është [A] jo Njësoj si [C] [B], sepse [B] është në të majtë të [A], por në të djathtë të [C].
2. Përcaktoni dimensionet e përgjigjes tuaj. Dimensionet e matricës përfundimtare janë dimensionet e jashtme të dy faktorëve. Ka të njëjtin numër rreshtash si matrica e parë dhe të njëjtin numër kolonash si matrica e dytë.
   • Kthimi në shembullin origjinal: të dy ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$Përcaktoni vlerën e elementit të parë. Shikoni artikullin e lidhur për udhëzime të hollësishme, ose rifreskoni njohuritë tuaja me këtë përmbledhje:
     • Për të gjetur rreshtin 1, kolonën 1 të [A] [B], gjeni produktin me pikë të [A] rreshtit 1 dhe [B] kolonën 1. Pra, për një matricë 2 x 2, ju llogaritni ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Llogaritni produktin me pikë për secilën pozicion në matricën tuaj. Për shembull, elementi në pozicionin 2,1 është produkti me pikë të kolonës [A] rreshti 2 dhe [B] 1. Mundohuni ta përpunoni vetë shembullin. Ju duhet të merrni përgjigjet e mëposhtme:
       • ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} fund {pmatrix}} = { filloni {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 fund {pmatrix}}}$
       • Dhe zgjidhja tjetër: ${ displaystyle { start {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 fundi {pmatrix}}}$

Këshilla

• Ju mund ta ndani një matricë me një skalar duke ndarë secilin element të matricës me skalarin.
  • Për shembull, matrica ${ displaystyle { start {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ pjesëtuar me 2 = ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Paralajmërime

• Llogaritësit nuk janë gjithmonë 100% të saktë në llogaritjet e matricave. Për shembull, nëse llogaritësi juaj tregon se një element ka një vlerë shumë të vogël (p.sh. 2E), vlera ka të ngjarë zero.