Përmbajtje

• Hapat
• Këshilla

Një ekuacion kuadratik është një polinom me një ndryshore ku 2 është eksponenti më i lartë i asaj ndryshore. Ekzistojnë tre mënyra kryesore për të zgjidhur ekuacionet kuadratike: 1) faktorizojeni nëse mundeni, 2) përdorni formulën kuadratike, ose 3) plotësoni katrorin. Ndiqni këto hapa për të mësuar se si të bëheni të aftë me këto tre metoda.

Hapat

Metoda 1 e 3: Analiza e ekuacioneve në faktorë

1. 

   Shto të gjithë termat e njëjtë dhe zhvendosi në njërën anë të ekuacionit. Hapi i parë në analizën e faktorëve është vendosja e të gjitha termave të saj anash në mënyrë që ato të jenë pozitive. Për të kombinuar termat, shtoni ose zbritni të gjitha termat, cilido term që përmban dhe konstante (termat janë numra të plotë), shndërroni ato në njërën anë dhe mos lini asgjë në anën tjetër. Pastaj mund të shkruani "0" në anën tjetër të shenjës së barazimit. Ja se si ta bëni:

2. 

   
   
   Analizoni shprehjen në faktor. Për të faktorizuar një shprehje, duhet të përdorni faktorët e termit që përmbajnë (3) dhe faktorët e konstantës (-4), për t'i shumëzuar ato dhe më pas ta shtoni atë në termin e mesëm (-11). . Ja se si ta bëni:
   • Meqenëse ekziston vetëm një faktor i mundshëm, dhe mund ta rishkruani në kllapa si kjo:.
   • Tjetra, përdorni zvogëlimin për të kombinuar faktorët e 4 për të gjetur kombinimin që bën -11x kur shumëzohet. Mund të përdorni 4 dhe 1 ose 2 dhe 2 sepse të dy kanë një produkt prej 4. Vetëm mos harroni se një faktor duhet të jetë negativ sepse termi ynë është -4.
   • Me metodën e provës, ne do të kontrollojmë kombinimin e faktorëve. Kur zbatojmë shumëzimin, fitojmë. Shto termat dhe, ne kemi, është afati i saktë i mesëm që ne synojmë. Pra, ne sapo kemi faktorizuar funksionin kuadratik.
   • Si një shembull i këtij testi, le të shqyrtojmë një kombinim të gabuar (të pasaktë) të: =. Kombinimi i këtyre termave, ne do të marrim. Megjithëse është e vërtetë që -2 dhe 2 kanë produkte të barabarta me -4, termi në mes nuk është i saktë, sepse ne kemi nevojë për të, jo.

3. 

   
   
   Secila shprehje në kllapa le të jetë zero si ekuacione individuale. Nga atje, gjeni dy vlera që e bëjnë ekuacionin e përgjithshëm të barabartë me zero = 0. Tani, pasi të faktorizoni ekuacionin, duhet thjesht ta mbyllni shprehjen në kllapa me zero. Pse Kjo sepse për produktin zero, ne kemi një "parim, ligj ose pronë" që një faktor duhet të jetë zero. Prandaj, të paktën një vlerë në kllapa, duhet të jetë zero; që është (3x + 1) ose (x - 4) duhet të jetë zero. Pra, kemi ose.

4. 

   
   
   Zgjidh secilin prej këtyre ekuacioneve "zero" në mënyrë të pavarur. Ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të mundshme. Gjeni secilën zgjidhje të mundshme për ndryshoren x duke veçuar ndryshoren dhe duke shkruar dy zgjidhjet e saj si rezultatin përfundimtar. Ja se si:
   • Zgjidh 3x + 1 = 0
     • Zbrit dy anët: 3x = -1 .....
     • Ndani dy anët: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Rënia: x = -1/3 .....
   • Zgjidh x - 4 = 0
     • Zbrit dy anët: x = 4 .....
   • Shkruani zgjidhjet tuaja të mundshme: x = (-1/3, 4) ....., domethënë x = -1/3, ose x = 4 janë të dyja të sakta.

5. 

   Kontrolloni x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Në vend të një shprehje, ne kemi (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Rënie: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Krye shumëzimin, marrim (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... E drejtë, x = -1/3 është zgjidhje e ekuacioni.

6. 

   Kontrolloni x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Në vend të një shprehje, ne kemi (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Rrëzohemi, marrim: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Krye shumëzimin: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... E drejtë, x = 4 është zgjidhja e ekuacionit.
   • Pra, të dyja këto zgjidhje të mundshme janë "testuar" individualisht, dhe mund të konfirmohet se të dyja zgjidhin problemin dhe janë dy zgjidhje të veçanta të vërteta.
   reklamë

Metoda 2 nga 3: Përdorni formulën kuadratike

1. 

   Shto të gjithë termat e njëjtë dhe zhvendosi në njërën anë të ekuacionit. Lëviz të gjithë termat në njërën anë të shenjës së barabartë në mënyrë që termi të përmbajë shenjën pozitive. Rishkruaj termat në rend zbritës, që do të thotë që termi vjen i pari, pasuar nga, dhe së fundmi konstanta. Ja se si:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Shkruani formulën tuaj kuadratike. Kjo eshte:

3. 

   Përcaktoni vlerat e a, b dhe c në ekuacionin kuadratik. Jashtë a është koeficienti i x, b është koeficienti i x dhe c është një konstante. Me ekuacionin 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 dhe c = -8. Ju lutemi shkruani në letër.

4. 

   Vendosni vlerat e a, b dhe c në ekuacion. Tani që i dini vlerat e tre ndryshoreve më lart, mund t'i vendosni në ekuacion si kjo:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Kryen llogaritjet. Pasi të keni zëvendësuar numrat, kryeni pjesën tjetër të llogaritjes për të zvogëluar shenjat pozitive ose negative, shumëzoni ose katrorizoni termat e mbetur. Ja se si:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Rrëzo rrënjën katrore. Nëse nën shenjën radikale është një katror i përsosur, do të merrni një numër të plotë. Nëse nuk është një shesh perfekt, atëherë zvogëlojeni atë në formën e tij më të thjeshtë radikale. Nëse është negativ, dhe sigurohuni që ajo të ketë një vlerë negative, zgjidhja do të jetë mjaft e komplikuar. Në këtë shembull, √ (121) = 11. Mund të shkruajmë: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Zgjidh zgjidhjet pozitive dhe negative. Nëse e keni hequr rrënjën katrore, mund të vazhdoni derisa të gjeni zgjidhjet pozitive dhe negative të x. Tani që keni (5 +/- 11) / 6, mund të shkruani dy mundësi:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Gjeni zgjidhjet pozitive dhe negative. Thjesht duhet të bëjmë llogaritjen:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Shembje. Për të shkurtuar përgjigjet tuaja, thjesht duhet të ndani numëruesin dhe modelin nga pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët. Ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 2 dhe emëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me 6, dhe keni gjetur x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   reklamë

Metoda 3 nga 3: Plotësoni katrorin

1. 

   Lëvizni të gjithë termat në njërën anë të ekuacionit. Sigurohu a ose x ka një shenjë pozitive. Ja se si:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • Në këtë ekuacion, a e barabartë 2, b është e barabartë me -12 dhe c e barabartë me -9.

2. 

   Lëvizur përpara c ose konstante në anën tjetër. Konstantet janë terma numerikë që nuk përmbajnë ndryshore. Le ta zhvendosim atë në anën e djathtë të ekuacionit:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Ndani të dy anët me koeficientët a ose koeficienti i x. Nëse x nuk ka term përpara, atëherë koeficienti i tij është 1 dhe mund ta kaloni këtë hap. Në rastin tonë, do t'ju duhet të ndani të gjithë termat në ekuacion me 2, si kjo:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Ndani b nga dy, katror atë dhe shtoni rezultatin në të dy anët. Në këtë shembull, b është e barabartë me -6. Ne bëjmë sa vijon:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Kolapsi dy anët. Analizoni anën e majtë në faktor, kemi (x-3) (x-3), ose (x-3). Shtoni anën e djathtë për të marrë 9/2 + 9, ose 9/2 + 18/2, dhe për të marrë 2/27.

6. 

   Gjeni rrënjën katrore të të dy anëve. Rrënja katrore e (x-3) është (x-3). Rrënjën katrore të 27/2 mund ta shprehni si ± √ (27/2). Pra, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Rrëzoni shenjën radikale dhe gjeni x. Për të zvogëluar ± √ (27/2), gjejmë një katror brenda 27, 2 ose një faktor të tij. Sheshi perfekt 9 është në 27, sepse 9x3 = 27. Për të hequr 9 nga shenja radikale, ne e tërheqim atë dhe shkruajmë 3, rrënjën e saj katrore, përveç shenjës radikale. Faktori i mbetur i 3 në numërues nuk mund të dalë, kështu që mbetet nën shenjën radikale. Në të njëjtën kohë, ne gjithashtu lëmë 2 në mostrën e fraksionit. Tjetra, lëviz konstantën 3 në anën e majtë të ekuacionit në të djathtë dhe shkruaj dy zgjidhjet:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   reklamë

Këshilla

• Siç mund të shihet, shenja radikale nuk zhduket plotësisht. Prandaj, termat në numërues nuk mund të jenë grumbullues (sepse nuk janë terma të së njëjtës veti). Prandaj, ndarja plus-ose-minus është e pakuptimtë. Në vend të kësaj, ne mund të ndajmë të gjithë faktorët e përbashkët, por VETEM kur është konstante DHE Koeficientët e çdo radikali gjithashtu përmbajnë atë faktor.
• Nëse shenja radikale nuk është një katror i përsosur, hapat e fundit mund të bëhen pak më ndryshe. Të tilla si:
• Nëse "b" është një numër çift, formula do të jetë: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.