Si të ndani matricat

Video: Ошибки, которые допускают при установке окон. Заклейка. Переделка хрущевки от А до Я. #8

Përmbajtje

Përmbledhje e shkurtër
Hapa
Pjesa 1 nga 3: Testimi i pjesëtueshmërisë së matricave
Pjesa 2 nga 3: Gjetja e matricës së anasjelltë
Pjesa 3 nga 3: Shumëzimi i matricës
Këshilla
Paralajmërimet
Artikuj shtesë

Nëse dini të shumëzoni dy matrica, mund të filloni të "ndani" matricat. Fjala "ndarje" është e mbyllur në thonjëza, sepse matricat në fakt nuk mund të ndahen. Operacioni i ndarjes zëvendësohet me operacionin e shumëzimit të një matricë me një matricë që është inversi i matricës së dytë. Për thjeshtësi, merrni parasysh një shembull me numra të plotë: 10 ÷ 5. Gjeni reciprokun e 5: 5 ose /₅, dhe pastaj zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim: 10 x 5; rezultati i pjesëtimit dhe shumëzimit do të jetë i njëjtë. Prandaj, besohet se ndarja mund të zëvendësohet me shumëzim me matricën e anasjelltë. Në mënyrë tipike, llogaritjet e tilla përdoren për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare.

Përmbledhje e shkurtër

Ju nuk mund të ndani matricat. Në vend që të ndahet, një matricë shumëzohet me inversin e matricës së dytë. "Ndarja" e dy matricave [A] [B] shkruhet si më poshtë: [A] * [B] ose [B] * [A].
Nëse matrica [B] nuk është katrore, ose nëse përcaktuesi i saj është 0, shkruani "asnjë zgjidhje të qartë." Përndryshe, gjeni përcaktuesin e matricës [B] dhe shkoni në hapin tjetër.
Gjeni të kundërtën: [B].
Shumëzoni matricat për të gjetur [A] * [B] ose [B] * [A]. Mbani në mend se rendi në të cilin shumëzohen matricat ndikon në rezultatin përfundimtar (domethënë, rezultatet mund të ndryshojnë).

Hapa

Pjesa 1 nga 3: Testimi i pjesëtueshmërisë së matricave

1 Kuptoni "ndarjen" e matricave. Në fakt, matricat nuk mund të ndahen. Nuk ka një operacion të tillë matematikor si "ndarja e një matricë me një tjetër". Ndarja zëvendësohet duke shumëzuar një matricë me inversin e matricës së dytë. Kjo do të thotë, shënimi [A] [B] nuk është i saktë, kështu që zëvendësohet me shënimin e mëposhtëm: [A] * [B]. Meqenëse të dy shënimet janë ekuivalente në rastin e vlerave shkallore, teorikisht mund të flasim për "ndarjen" e matricave, por është akoma më mirë të përdorim terminologjinë e saktë.
- Vini re se [A] * [B] dhe [B] * [A] janë operacione të ndryshme. Mund të jetë e nevojshme të kryhen të dy operacionet për të gjetur të gjitha zgjidhjet e mundshme.
- Për shembull, në vend të ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ shkruaj ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Ju mund të keni për të llogaritur ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ për të marrë një rezultat tjetër.
2 Sigurohuni që matrica që po "ndani" matricën tjetër me të është katrore. Për të përmbysur një matricë (gjeni anasjelltas të një matricë), ajo duhet të jetë katrore, domethënë, me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. Nëse matrica e përmbysur nuk është e kundërt, nuk ka zgjidhje të caktuar.
- Përsëri, matricat nuk janë "të ndashme" këtu. Në operacionin [A] * [B], gjendja e përshkruar i referohet matricës [B]. Në shembullin tonë, kjo gjendje i referohet matricës ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Një matricë që mund të përmbyset quhet jo e degjeneruar ose e rregullt. Një matricë që nuk mund të përmbyset quhet e degjeneruar ose njëjës.
3 Kontrolloni nëse dy matricat mund të shumëzohen. Për të shumëzuar dy matrica, numri i kolonave në matricën e parë duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave në matricën e dytë. Nëse ky kusht nuk plotësohet në shënimin [A] * [B] ose [B] * [A], nuk ka zgjidhje.
- Për shembull, nëse madhësia e matricës [A] është 4 x 3 dhe madhësia e matricës [B] është 2 x 2, nuk ka zgjidhje. Ju nuk mund të shumëzoni [A] * [B] sepse 4 ≠ 2, dhe ju nuk mund të shumëzoni [B] * [A] sepse 2 ≠ 3.
- Vini re se matrica e anasjelltë [B] ka gjithmonë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash si matrica origjinale [B]. Nuk është e nevojshme të gjesh matricën e anasjelltë për të kontrolluar që dy matrica mund të shumëzohen.
- Në shembullin tonë, madhësia e të dy matricave është 2 x 2, kështu që ato mund të shumëzohen në çdo rend.
4 Gjeni përcaktorin e matricës 2 × 2. Mos harroni: ju mund të përmbysni një matricë vetëm nëse përcaktuesi i saj nuk është zero (përndryshe, ju nuk mund ta përmbysni matricën). Ja se si të gjeni përcaktuesin e një matricë 2 x 2:
- Matrica 2 x 2: përcaktues i një matricë ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ është e barabartë me ad - bc. Kjo do të thotë, nga produkti i elementeve të diagonës kryesore (kalon nëpër qoshet e sipërme të majtë dhe të djathtë të poshtme), zbrit produktet e elementeve të diagonës tjetër (kalon nëpër qoshet e sipërme të djathtë dhe të poshtme të majtë).
- Për shembull, përcaktuesi i matricës ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ është e barabartë me (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Përcaktuesi është jozero, kështu që kjo matricë mund të përmbyset.
5 Gjeni përcaktuesin e matricës më të madhe. Nëse madhësia e matricës është 3 x 3 ose më shumë, përcaktuesi është pak më i vështirë për t'u llogaritur.
- Matricë 3 x 3: zgjidhni çdo artikull dhe kryqëzoni rreshtin dhe kolonën në të cilën ndodhet.Gjeni përcaktuesin e matricës 2 × 2 që rezulton, dhe më pas shumëzojeni atë me elementin e zgjedhur; specifikoni shenjën e përcaktorit në një tabelë të veçantë. Përsëriteni këtë proces për dy artikujt e tjerë që janë në të njëjtën rresht ose kolonë me artikullin që keni zgjedhur. Pastaj gjeni shumën e (tre) përcaktuesve të marrë. Lexoni këtë artikull për më shumë informacion se si të gjeni përcaktuesin e një matricë 3 x 3.
- Matrica të mëdha: përcaktuesi i matricave të tilla kërkohet më së miri me një kalkulator grafik ose softuer. Metoda është e ngjashme me metodën për gjetjen e përcaktuesit të një matricë 3 × 3, por është mjaft e lodhshme ta zbatosh atë me dorë. Për shembull, për të gjetur përcaktuesin e një matricë 4 x 4, duhet të gjeni përcaktuesit e katër matricave 3 x 3.
6 Vazhdoni llogaritjet. Nëse matrica nuk është katrore ose nëse përcaktuesi i saj është i barabartë me zero, shkruani "asnjë zgjidhje të qartë", domethënë, procesi i llogaritjes është përfunduar. Nëse matrica është katrore dhe ka një përcaktues jo -zero, kaloni në seksionin tjetër.

Pjesa 2 nga 3: Gjetja e matricës së anasjelltë

1 Ndërroni elementët e diagonës kryesore të matricës 2 x 2. Duke pasur parasysh një matricë 2 × 2, përdorni metodën e kundërt të shpejtë. Së pari, ndërroni elementin lart-majtas dhe elementin poshtë-djathtas. Për shembull:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Shënim: shumica e njerëzve përdorin kalkulatorë për të përmbysur një matricë 3 x 3 (ose më të madhe). Nëse keni nevojë ta bëni këtë me dorë, shkoni në fund të këtij seksioni.
2 Mos ndërroni dy elementët e mbetur, por ndryshoni shenjën e tyre. Kjo do të thotë, shumëzoni elementin e sipërm të djathtë dhe elementin e poshtëm të majtë me -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Gjeni reciprokun e përcaktorit. Përcaktuesi i kësaj matricë u gjet në pjesën e mëparshme, kështu që ne nuk do ta llogarisim përsëri. Anasjellta e përcaktorit shkruhet si më poshtë: 1 / (përcaktues):
- Në shembullin tonë, përcaktuesi është 13. Vlera e kundërt: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Shumëzoni matricën që rezulton me reciprokun e përcaktorit. Shumëzoni secilin element të matricës së re me anën e kundërt të përcaktorit. Matrica përfundimtare do të jetë e kundërta e matricës origjinale 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Kontrolloni që llogaritjet janë të sakta. Për ta bërë këtë, shumëzoni matricën origjinale me anasjelltas. Nëse llogaritjet janë të sakta, produkti i matricës origjinale nga ana e kundërt do të japë matricën e identitetit: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Nëse testi ishte i suksesshëm, vazhdoni në seksionin tjetër.
- Në shembullin tonë: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { fillojë {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Për më shumë informacion se si të shumëzoni matricat, lexoni këtë artikull.
- Shënim: funksionimi i shumëzimit të matricës nuk është komutativ, domethënë rendi i matricave është i rëndësishëm. Por kur matrica origjinale shumëzohet me inversin e saj, çdo rend çon në matricën e identitetit.
6 Gjeni të kundërtën e një matricë 3 x 3 (ose më e madhe). Nëse tashmë jeni njohur me këtë proces, është më mirë të përdorni një kalkulator grafik ose softuer special. Nëse keni nevojë të gjeni matricën e anasjelltë me dorë, procesi përshkruhet shkurtimisht më poshtë:
- Bashkohuni me matricën e identitetit I në anën e djathtë të matricës origjinale. Për shembull, [B] [B | Unë]. Për matricën e identitetit, të gjithë elementët e diagonës kryesore janë të barabartë me 1, dhe të gjithë elementët e tjerë janë të barabartë me 0.
- Thjeshtoni matricën në mënyrë që ana e majtë e saj të bëhet e shkallëzuar; vazhdoni të thjeshtoheni në mënyrë që ana e majtë të bëhet matrica e identitetit.
- Pas thjeshtimit, matrica do të marrë formën e mëposhtme: [I | B]. Kjo do të thotë, ana e saj e djathtë është e kundërta e matricës origjinale.

Pjesa 3 nga 3: Shumëzimi i matricës

1 Shkruani dy shprehje të mundshme. Operacioni i shumëzimit të dy shkallëve është komutativ, domethënë 2 x 6 = 6 x 2.Ky nuk është rasti në rastin e shumëzimit të matricës, kështu që mund t'ju duhet të zgjidhni dy shprehje:
- x = [A] * [B] është zgjidhja e ekuacionit x[B] = [A].
- x = [B] * [A] është zgjidhja e ekuacionit [B]x = [A].
- Kryeni çdo veprim matematikor në të dy anët e ekuacionit. Nëse [A] = [C] atëherë [B] [A] ≠ [C] [B] sepse [B] është në të majtë të [A] por në të djathtë të [C].
2 Përcaktoni madhësinë e matricës përfundimtare. Madhësia e matricës përfundimtare varet nga madhësia e matricave të shumëzuara. Numri i rreshtave në matricën përfundimtare është i barabartë me numrin e rreshtave në matricën e parë, dhe numri i kolonave në matricën përfundimtare është i barabartë me numrin e kolonave në matricën e dytë.
- Në shembullin tonë, madhësia e të dy matricave ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ dhe ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ është 2 x 2, kështu që madhësia e matricës origjinale do të jetë 2 x 2.
- Konsideroni një shembull më kompleks: nëse madhësia e matricës [A] është 4 x 3, dhe madhësia e matricës [B] është 3 x 3, atëherë matrica përfundimtare [A] * [B] do të jetë 4 x 3.
3 Gjeni vlerën e elementit të parë. Lexoni këtë artikull ose mbani mend hapat bazë të mëposhtëm:
- Për të gjetur elementin e parë (rreshti i parë, kolona e parë) e matricës përfundimtare [A] [B], llogarisni produktin e pikave të elementeve të rreshtit të parë të matricës [A] dhe elementët e kolonës së parë të matricës [B ]. Në rastin e një matricë 2 x 2, produkti i pikave llogaritet si më poshtë: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Në shembullin tonë: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Kështu, elementi i parë i matricës përfundimtare do të jetë elementi:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Vazhdoni llogaritjen e produkteve të pikave për të gjetur secilin element të matricës përfundimtare. Për shembull, elementi i vendosur në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë është i barabartë me produktin pikë të rreshtit të dytë të matricës [A] dhe kolonën e parë të matricës [B]. Mundohuni të gjeni artikujt e mbetur vetë. Ju duhet të merrni rezultatet e mëposhtme:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { fillo {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Nëse keni nevojë të gjeni një zgjidhje tjetër: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {{}} End {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { fillojë {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 fundi {pmatrix}}}$

Këshilla

Matrica mund të ndahet në një shkallë; për këtë, secili element i matricës ndahet me një shkallë.
- Për shembull, nëse matrica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ pjesëtuar me 2, ju merrni matricën ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Paralajmërimet

Llogaritësi nuk jep gjithmonë rezultate absolutisht të sakta kur bëhet fjalë për llogaritjet e matricës. Për shembull, nëse llogaritësi pretendon se artikulli është një numër shumë i vogël (si 2E), vlera ka shumë të ngjarë zero.