Përmbajtje

• Informacioni paraprak
• Hapa
• Pjesa 1 nga 3: Bazat
• Pjesa 2 nga 3: Vetitë e transformimit të Laplasit
• Pjesa 3 nga 3: Gjetja e transformimit të Laplace sipas zgjerimit të serisë

Transformimi Laplace është një transformim integral që përdoret për të zgjidhur ekuacionet diferenciale me koeficientë konstantë. Ky transformim është përdorur gjerësisht në fizikë dhe inxhinieri.

Ndërsa mund të përdorni tabelat e duhura, është e dobishme të kuptoni transformimin e Laplace në mënyrë që ta bëni vetë nëse është e nevojshme.

Informacioni paraprak

• I është dhënë një funksion ${ displaystyle f (t)}$përcaktuar për ${ displaystyle t geq 0.}$ Atëherë Transformimi i Laplace funksionin ${ displaystyle f (t)}$ është funksioni tjetër i secilës vlerë ${ displaystyle s}$, në të cilën integrali konvergon:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Transformimi i Laplace merr një funksion nga rajoni t (shkalla kohore) në rajonin s (rajoni i transformimit), ku ${ stilet e ekranit F (të)}$ është një funksion kompleks i një ndryshoreje komplekse. Kjo ju lejon të zhvendosni funksionin në një zonë ku një zgjidhje mund të gjendet më lehtë.
• Natyrisht, transformimi Laplace është një operator linear, kështu që nëse kemi të bëjmë me një shumë termash, secili integral mund të llogaritet veçmas.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Mos harroni se transformimi Laplace funksionon vetëm nëse integrali konvergon. Nëse funksioni ${ displaystyle f (t)}$ ka ndërprerje, është e nevojshme të jeni të kujdesshëm dhe të vendosni saktë kufijtë e integrimit në mënyrë që të shmangni pasigurinë.

Hapa

Pjesa 1 nga 3: Bazat

1. 1 Zëvendësoni funksionin në formulën e transformimit Laplace. Teorikisht, transformimi Laplace i një funksioni është shumë i lehtë për t'u llogaritur. Si shembull, merrni parasysh funksionin ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, ku ${ displaystyle a}$ është një konstante komplekse me ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Vlerësoni integralin duke përdorur metodat në dispozicion. Në shembullin tonë, vlerësimi është shumë i thjeshtë dhe mund të arrini me llogaritjet e thjeshta. Në raste më komplekse, mund të nevojiten metoda më komplekse, për shembull, integrimi sipas pjesëve ose diferencimi nën shenjën integrale. Kusht kufizues ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ do të thotë që integrali konvergon, domethënë vlera e tij tenton në 0 si ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { filloj {në linjë} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(si) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(si) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} fund {lidhur}}}}$
   • Vini re se kjo na jep dy lloje të transformimit Laplace, me sinus dhe kosinus, pasi sipas formulës së Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Në këtë rast, në emërues marrim ${ displaystyle s-ia,}$ dhe mbetet vetëm për të përcaktuar pjesët reale dhe imagjinare. Ju gjithashtu mund të vlerësoni rezultatin drejtpërdrejt, por kjo do të zgjasë pak më shumë.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = emri i operës {Re} majtas ({ frac {1} {s-ia}} djathtas) = ​​{ frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = emri i operës {Im} majtas ({ frac {1} {s-ia}} djathtas) = ​​{ frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Konsideroni transformimin Laplace të një funksioni fuqie. Së pari, ju duhet të përcaktoni transformimin e funksionit të fuqisë, pasi vetia e linearitetit ju lejon të gjeni transformimin për nga te gjitha polinome. Një funksion i formës ${ displaystyle t ^ {n},}$ ku ${ displaystyle n}$ - çdo numër i plotë pozitiv. Mund të integrohet pjesë për pjesë për të përcaktuar një rregull rekursive.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ky rezultat shprehet në mënyrë të nënkuptuar, por nëse zëvendësoni disa vlera ${ displaystyle n,}$ mund të krijoni një model të caktuar (përpiquni ta bëni vetë), i cili ju lejon të merrni rezultatin e mëposhtëm:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Ju gjithashtu mund të përcaktoni transformimin Laplace të fuqive fraksionale duke përdorur funksionin gama. Për shembull, në këtë mënyrë mund të gjeni transformimin e një funksioni si p.sh ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gama (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gama (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Edhe pse funksionet me fuqi thyesore duhet të kenë shkurtime (mbani mend, çdo numër kompleks ${ displaystyle z}$ dhe ${ displaystyle alpha}$ mund të shkruhet si ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, sepse ${ displaystyle e ^ { alpha emri i operës {Log} z}}$), ato gjithmonë mund të përcaktohen në mënyrë të tillë që prerjet të qëndrojnë në gjysmën e majtë, dhe kështu të shmangin problemet me analitizmin.

Pjesa 2 nga 3: Vetitë e transformimit të Laplasit

1. 1 Le të gjejmë transformimin Laplace të funksionit të shumëzuar me eat{ displaystyle e ^ {at}}. Rezultatet e marra në pjesën e mëparshme na lejuan të zbulojmë disa veti interesante të transformimit të Laplace. Transformimi Laplace i funksioneve të tilla si kosinusi, sinusi dhe funksioni eksponencial duket të jetë më i thjeshtë sesa transformimi i funksionit të fuqisë. Shumëzimi me ${ displaystyle e ^ {at}}$ në rajonin t korrespondon me zhvendosje në rajonin s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Kjo pronë ju lejon menjëherë të gjeni transformimin e funksioneve të tilla si ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, pa pasur nevojë të llogarisim integralin:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Le të gjejmë transformimin Laplace të funksionit të shumëzuar me tn{ displaystyle t ^ {n}}. Së pari, merrni parasysh shumëzimin me ${ displaystyle t}$... Sipas përkufizimit, mund të dalloni një funksion nën një integral dhe të merrni një rezultat çuditërisht të thjeshtë:
   • ${ displaystyle { filloj {në linjë} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} në fund {në linjë}}}$
   • Duke përsëritur këtë operacion, marrim rezultatin përfundimtar:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Megjithëse rirregullimi i operatorëve të integrimit dhe diferencimit kërkon një justifikim shtesë, ne nuk do ta paraqesim këtu, por vetëm vëmë re se ky operacion është i saktë nëse rezultati përfundimtar ka kuptim. Ju gjithashtu mund të merrni parasysh faktin se variablat ${ displaystyle s}$ dhe ${ displaystyle t}$ nuk varen nga njeri -tjetri.
   • Duke përdorur këtë rregull, është e lehtë të gjesh transformimin e funksioneve të tilla si p.sh ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, pa ri-integrim sipas pjesëve:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Gjeni transformimin Laplace të funksionit f(at){ displaystyle f (at)}. Kjo mund të bëhet lehtë duke zëvendësuar ndryshoren me u duke përdorur përkufizimin e transformimit:
   • ${ displaystyle { begin {përputhje} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F majtas ({ frac {s} {a}} djathtas) në fund {në linjë}}}$
   • Më sipër, gjetëm transformimin e funksioneve Laplace ${ displaystyle sin at}$ dhe ${ displaystyle cos at}$ drejtpërdrejt nga funksioni eksponencial. Duke përdorur këtë pronë, mund të merrni të njëjtin rezultat nëse gjeni pjesët e vërteta dhe imagjinare ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Gjeni transformimin Laplace të derivatit f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Ndryshe nga shembujt e mëparshëm, në këtë rast duhet të integroni pjesë për pjesë:
   • ${ displaystyle { begin {përputhje} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) fund {rreshtuar}}}$
   • Meqenëse derivati ​​i dytë ndodh në shumë probleme fizike, ne gjejmë transformimin e Laplace edhe për të:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Në rastin e përgjithshëm, transformimi Laplace i derivatit të rendit të nëntë përcaktohet si më poshtë (kjo lejon zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale duke përdorur transformimin Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Pjesa 3 nga 3: Gjetja e transformimit të Laplace sipas zgjerimit të serisë

1. 1 Le të gjejmë transformimin Laplace për një funksion periodik. Funksioni periodik plotëson kushtin ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ ku ${ displaystyle T}$ është periudha e funksionit, dhe ${ displaystyle n}$ është një numër i plotë pozitiv. Funksionet periodike përdoren gjerësisht në shumë aplikime, përfshirë përpunimin e sinjalit dhe inxhinierinë elektrike. Duke përdorur transformime të thjeshta, marrim rezultatin e mëposhtëm:
   • ${ displaystyle { filloj {në linjë} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} matematikë {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { rreshtuar}}}$
   • Siç mund ta shihni, në rastin e një funksioni periodik, mjafton të kryeni transformimin Laplace për një periudhë.
2. 2 Kryeni transformimin Laplace për logaritmin natyror. Në këtë rast, integrali nuk mund të shprehet në formën e funksioneve elementare. Përdorimi i funksionit gama dhe zgjerimi i serisë së tij ju lejon të vlerësoni logaritmin natyror dhe shkallët e tij. Prania e konstantes Euler-Mascheroni ${ displaystyle gama}$ tregon se për të vlerësuar këtë integral, është e nevojshme të përdoret një zgjerim serik.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Konsideroni transformimin Laplace të funksionit të pa normalizuar të sin. Funksioni ${ displaystyle operatornname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ përdoret gjerësisht për përpunimin e sinjalit, në ekuacionet diferenciale është ekuivalente me funksionin sferik të Beselit të llojit të parë dhe rendit zero ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Transformimi Laplace i këtij funksioni gjithashtu nuk mund të llogaritet me metoda standarde. Në këtë rast, bëhet transformimi i anëtarëve individualë të serisë, të cilët janë funksione të fuqisë, kështu që transformimet e tyre konvergojnë domosdoshmërisht në një interval të caktuar.
   • Së pari, ne shkruajmë zgjerimin e funksionit në një seri Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Tani ne përdorim transformimin tashmë të njohur të funksionit të fuqisë Laplace. Factorials anulohen, dhe si rezultat marrim zgjerimin Taylor për arctangent, domethënë, një seri alternative që i ngjan serisë Taylor për sinusin, por pa faktoriale:
     • ${ displaystyle { fillo {në linjë} { mathcal {L}} majtas {{ frac { sin t} {t}} djathtas } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} në fund {në linjë}}}$