Përmbajtje

• Hapa
• Metoda 1 nga 3: Faktorizimi i një ekuacioni
• Metoda 2 nga 3: Përdorimi i formulës kuadratike
• Metoda 3 nga 3: Përfundimi i Sheshit
• Këshilla

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion në të cilin fuqia më e madhe e një ndryshoreje është 2. Ekzistojnë tre mënyra kryesore për të zgjidhur ekuacionet kuadratike: nëse është e mundur, faktorizoni ekuacionin kuadratik, përdorni formulën kuadratike ose plotësoni katrorin. A doni të dini se si bëhet e gjithë kjo? Lexo.

Hapa

Metoda 1 nga 3: Faktorizimi i një ekuacioni

1. 1 Shtoni të gjithë elementët e ngjashëm dhe transferojini ato në njërën anë të ekuacionit. Ky do të jetë hapi i parë, domethënë ${ displaystyle x ^ {2}}$ në këtë rast, duhet të mbetet pozitiv. Shtoni ose zbritni të gjitha vlerat ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ dhe konstante, duke transferuar gjithçka në njërën pjesë dhe duke lënë 0 në tjetrën. Ja si ta bëni:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ stili i ekranit 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktori i shprehjes. Për ta bërë këtë, duhet të përdorni vlerat ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), vlera konstante (-4), ato duhet të shumëzohen dhe të formojnë -11. Ja si ta bëni:
   • ${ stili i ekranit 3x ^ {2}}$ ka vetëm dy faktorë të mundshëm: ${ stili i ekranit 3x}$ dhe ${ displaystyle x}$kështu që ato mund të shkruhen në kllapa: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Tjetra, duke zëvendësuar faktorët e 4, gjejmë kombinimin që, kur shumëzohet, jep -11x. Ju mund të përdorni një kombinim të 4 dhe 1, ose 2 dhe 2, pasi të dy japin 4. Mos harroni se vlerat duhet të jenë negative, sepse ne kemi -4.
   • Përmes provës dhe gabimit, ju merrni kombinimin ${ stili i ekranit (3x + 1) (x-4)}$... Kur shumëzojmë, marrim ${ stili i ekranit 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Duke u lidhur ${ displaystyle -12x}$ dhe ${ displaystyle x}$, marrim afatin e mesëm ${ displaystyle -11x}$që ne po kërkonim. Ekuacioni kuadratik faktorizohet.
   • Për shembull, le të provojmë një kombinim të papërshtatshëm: (${ stili i ekranit (3x-2) (x + 2)}$ = ${ stili i ekranit 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Duke u kombinuar, marrim ${ stili i ekranit 3x ^ {2} -4x -4}$... Edhe pse faktorët -2 dhe 2 shumëzohen në -4, termi i mesëm nuk funksionon, sepse ne donim të merrnim ${ displaystyle -11x}$, por jo ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Barazoni secilën shprehje në kllapa me zero (si ekuacione të veçanta). Kështu gjejmë dy kuptime ${ displaystyle x}$për të cilin i gjithë ekuacioni është i barabartë me zero, ${ stili i ekranit (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Tani mbetet të barazojmë me zero secilën nga shprehjet në kllapa. Pse? Çështja është se produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Si ${ stili i ekranit (3x + 1) (x-4)}$ është zero, atëherë ose (3x + 1) ose (x - 4) është zero. Shkruani ${ stili i ekranit 3x + 1 = 0}$ dhe ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Zgjidh secilin ekuacion veç e veç. Në një ekuacion kuadratik, x ka dy kuptime. Zgjidhni ekuacionet dhe shkruani vlerat x:
   • Zgjidhni ekuacionin 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... duke zbritur
     • 3x / 3 = -1/3 ..... duke pjesëtuar
     • x = -1/3 ..... pas thjeshtimit
   • Zgjidh ekuacionin x - 4 = 0
     • x = 4 ..... duke zbritur
   • x = (-1/3, 4) ..... vlerat e mundshme, dmth x = -1/3 ose x = 4.
5. 5 Kontrolloni x = -1/3 duke e lidhur këtë vlerë në (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... me zëvendësim
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... pas thjeshtimit
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... pas shumëzimit
   • 0 = 0, pra x = -1/3 është përgjigja e saktë.
6. 6 Kontrolloni x = 4 duke e lidhur këtë vlerë në (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... me zëvendësim
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... pas thjeshtimit
   • (13) (0) = 0 ..... pas shumëzimit
   • 0 = 0, prandaj x = 4 është përgjigja e saktë.
   • Kështu, të dy zgjidhjet janë të sakta.

Metoda 2 nga 3: Përdorimi i formulës kuadratike

1. 1 Kombinoni të gjitha termat dhe shkruani në njërën anë të ekuacionit. Ruani vlerën ${ displaystyle x ^ {2}}$ pozitive. Shkruani termat sipas rendit të gradave në rënie, pra termit ${ displaystyle x ^ {2}}$ shkruhet së pari, pastaj ${ displaystyle x}$ dhe pastaj një konstante:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Shkruani formulën për rrënjët e një ekuacioni katror. Formula duket kështu: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Përcaktoni vlerat e a, b dhe c në një ekuacion kuadratik. E ndryshueshme a është koeficienti i termit x, b - anëtari x, c - konstante. Për ekuacionin 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, dhe c = -8. Shkruaje.
4. 4 Futni vlerat për a, b dhe c në ekuacion. Duke ditur vlerat e tre ndryshoreve, mund t'i lidhni ato në ekuacionin si më poshtë:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Llogariteni atë. Zëvendësoni vlerat, thjeshtoni të mirat dhe të këqijat, dhe shumëzoni ose katroroni termat e mbetur:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Thjeshtoni rrënjën katrore. Nëse rrënja katrore është një katror, ​​ju merrni një numër të plotë. Nëse jo, thjeshtojeni atë në vlerën më të thjeshtë të rrënjës. Nëse numri është negativ, dhe jeni të sigurt se duhet të jetë negativ, atëherë rrënjët do të jenë komplekse. Në këtë shembull √ (121) = 11. Mund të shkruani që x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Gjeni zgjidhje pozitive dhe negative. Nëse e keni hequr shenjën e rrënjës katrore, mund të vazhdoni derisa të gjeni vlera x pozitive dhe negative. Duke pasur (5 +/- 11) / 6, mund të shkruani:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Gjeni vlera pozitive dhe negative. Thjesht numëroni:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Thjeshtoj. Për ta bërë këtë, thjesht ndani të dy me faktorin më të madh të përbashkët. Pjesëtimi i fraksionit të parë me 2, i dyti me 6, x gjendet.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metoda 3 nga 3: Përfundimi i Sheshit

1. 1 Zhvendosni të gjithë termat në njërën anë të ekuacionit.a ose x duhet të jetë pozitiv. Kjo bëhet kështu:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • Në këtë ekuacion a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Transferimi i anëtarit c (të përhershëm) në anën tjetër. Një konstante është një term në një ekuacion që përmban vetëm një vlerë numerike, pa ndryshore.Zhvendoseni atë në anën e djathtë:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Ndani të dy pjesët sipas faktorit a ose x Nëse x nuk ka koeficient, atëherë është i barabartë me një dhe ky hap mund të anashkalohet. Në shembullin tonë, ne i ndajmë të gjithë anëtarët me 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Ndani b me 2, katror dhe shtoni në të dy anët. Në shembullin tonë b barabartë me -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Thjeshtoni të dyja anët. Sheshoni termat në të majtë për të marrë (x-3) (x-3), ose (x-3). Shtoni kushtet në të djathtë për të bërë 9/2 + 9, ose 9/2 + 18/2, që është 27/2.
6. 6 Nxirrni rrënjën katrore të të dy anëve. Rrënja katrore e (x-3) është thjesht (x-3). Rrënja katrore e 27/2 mund të shkruhet si ± √ (27/2). Kështu, x - 3 = √ (27/2).
7. 7 Thjeshtoni shprehjen radikale dhe gjeni x. Për të thjeshtuar ± √ (27/2), gjeni katrorin e përsosur në numrat 27 dhe 2, ose faktorët e tyre. Në 27 ka një katror të plotë prej 9, sepse 9 x 3 = 27. Për të nxjerrë 9 nga shenja rrënjë, merrni rrënjën prej saj dhe zbritni 3 nga shenja rrënjë. Lini 3 në numëruesit e thyesës nën shenjën rrënjë, pasi ky faktor nuk mund të nxirret, dhe gjithashtu lini 2 në fund. Tjetra, lëvizni konstanten 3 nga ana e majtë e ekuacionit në anën e djathtë dhe shkruani dy zgjidhjet për x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Këshilla

• Nëse numri nën shenjën rrënjë nuk është një katror i plotë, atëherë hapat e fundit kryhen pak më ndryshe. Këtu është një shembull:
• Siç mund ta shihni, shenja rrënjësore nuk është zhdukur. Në këtë mënyrë, termat në numëruesit nuk mund të kombinohen. Atëherë nuk ka kuptim të ndash plus ose minus. Në vend të kësaj, ne ndajmë çdo faktor të përbashkët - por vetem nëse faktori i përbashkët me konstanten dhe koeficienti i rrënjës.