Përmbajtje

• Hapa

Një ekuacion trigonometrik përmban një ose më shumë funksione trigonometrike të ndryshores "x" (ose ndonjë ndryshore tjetër). Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik është gjetja e një vlere të tillë "x" që kënaq funksionin (at) dhe ekuacionin në tërësi.

• Zgjidhjet për ekuacionet trigonometrike shprehen në gradë ose radianë. Shembuj:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 gradë; x = 37.12 gradë; x = 178.37 gradë.

• Shënim: vlerat e funksioneve trigonometrike nga këndet, të shprehura në radianë, dhe nga këndet, të shprehura në shkallë, janë të barabarta. Një rreth trigonometrik me një rreze të barabartë me një përdoret për të përshkruar funksionet trigonometrike, si dhe për të kontrolluar saktësinë e zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive themelore trigonometrike.
• Shembuj të ekuacioneve trigonometrike:
  • mëkati x + mëkati 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Një rreth trigonometrik me rreze një (rrethi njësi).
   • Shtë një rreth me rreze të barabartë me një dhe qendra në pikën O. Rrethi njësi përshkruan 4 funksione themelore trigonometrike të ndryshores "x", ku "x" është këndi i matur nga drejtimi pozitiv i boshtit X kundër akrepave të orës.
   • Nëse "x" është një kënd në rrethin njësi, atëherë:
   • Boshti horizontal OAx përcakton funksionin F (x) = cos x.
   • Aksi vertikal OBy përcakton funksionin F (x) = sin x.
   • Boshti vertikal AT përcakton funksionin F (x) = tan x.
   • Boshti horizontal BU përcakton funksionin F (x) = ctg x.

• Rrethi njësi përdoret gjithashtu për të zgjidhur ekuacionet dhe pabarazitë themelore trigonometrike (pozicione të ndryshme të "x" konsiderohen në të).

Hapa

1. 1 Koncepti i zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike.
   • Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, shndërrojeni atë në një ose më shumë ekuacione bazë trigonometrike. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik përfundimisht zbret në zgjidhjen e katër ekuacioneve themelore trigonometrike.
2. 2 Zgjidhja e ekuacioneve themelore trigonometrike.
   • Ekzistojnë 4 lloje të ekuacioneve themelore trigonometrike:
   • mëkati x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Zgjidhja e ekuacioneve themelore trigonometrike përfshin shikimin e pozicioneve të ndryshme x në rrethin njësi dhe përdorimin e një tabele konvertimi (ose llogaritësi).
   • Shembull 1. mëkati x = 0.866. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = π / 3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: 2π / 3. Mos harroni: të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, domethënë, vlerat e tyre përsëriten. Për shembull, periodiciteti i mëkatit x dhe cos x është 2πn, dhe periodiciteti i tg x dhe ctg x është πn. Prandaj, përgjigja shkruhet si më poshtë:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Shembull 2.kos x = -1/2. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = 2π / 3. Rrethi njësi jep një përgjigje tjetër: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Shembull 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Përgjigje: x = π / 4 + πn.
   • Shembull 4. ctg 2x = 1.732.
   • Përgjigje: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformimet e përdorura për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
   • Për të transformuar ekuacionet trigonometrike, përdoren transformimet algjebrike (faktorizimi, zvogëlimi i termave homogjenë, etj.) Dhe identitetet trigonometrike.
   • Shembull 5. Duke përdorur identitete trigonometrike, ekuacioni sin x + sin 2x + sin 3x = 0 shndërrohet në ekuacionin 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Kështu, ju duhet zgjidh ekuacionet e mëposhtme kryesore trigonometrike: cos x = 0; mëkat (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Gjetja e këndeve nga vlerat e njohura të funksioneve.
   • Para se të mësoni metoda për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, duhet të mësoni se si të gjeni kënde nga vlerat e njohura të funksioneve. Kjo mund të bëhet duke përdorur një tabelë konvertimi ose kalkulator.
   • Shembull: cos x = 0.732. Llogaritësi do të japë përgjigjen x = 42.95 gradë. Rrethi njësi do të japë kënde shtesë, kosinusi i të cilave është gjithashtu 0.732.
5. 5 Vendoseni zgjidhjen mënjanë në rrethin e njësisë.
   • Ju mund të shtyni zgjidhjet për ekuacionin trigonometrik në rrethin njësi. Zgjidhjet e ekuacionit trigonometrik në rrethin njësi janë kulmet e një shumëkëndëshi të rregullt.
   • Shembull: Zgjidhjet x = π / 3 + πn / 2 në rrethin njësi janë kulmet e një katrori.
   • Shembull: Zgjidhjet x = π / 4 + πn / 3 në rrethin njësi përfaqësojnë kulmet e një gjashtëkëndëshi të rregullt.
6. 6 Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
   • Nëse një ekuacion i dhënë trig përmban vetëm një funksion trig, zgjidh atë ekuacion si ekuacionin bazë të trigës.Nëse një ekuacion i dhënë përfshin dy ose më shumë funksione trigonometrike, atëherë ekzistojnë 2 metoda për zgjidhjen e një ekuacioni të tillë (në varësi të mundësisë së transformimit të tij).
     • Metoda 1
   • Ktheni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ku f (x), g (x), h (x) janë ekuacionet themelore trigonometrike.
     
     
   • Shembull 6.2kos x + mëkat 2x = 0. (0 x 2π)
   • Zgjidhja. Duke përdorur formulën me kënd të dyfishtë sin 2x = 2 * sin x * cos x, zëvendësoni sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tani zgjidh dy ekuacionet themelore trigonometrike: cos x = 0 dhe (sin x + 1) = 0.
   • Shembull 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, shndërroni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet kryesore trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2cos x + 1) = 0.
   • Shembulli 8. mëkati x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, shndërroni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: -kos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet themelore trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2sin x + 1) = 0
     • Metoda 2
   • Shndërroni ekuacionin trigonometrik të dhënë në një ekuacion që përmban vetëm një funksion trigonometrik. Pastaj zëvendësoni këtë funksion trigonometrik me ndonjë të panjohur, për shembull, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etj.).
   • Shembull 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Zgjidhja. Në këtë ekuacion, zëvendësoni (cos ^ 2 x) me (1 - sin ^ 2 x) (sipas identitetit). Ekuacioni i transformuar është:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zëvendësoni sin x me t. Ekuacioni tani duket kështu: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik me dy rrënjë: t1 = -1 dhe t2 = 9/5. Rrënja e dytë t2 nuk plotëson gamën e vlerave të funksionit (-1 sin x 1). Tani vendosni: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Shembull 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Zgjidhja. Zëvendësoni tg x me t. Rishkruani ekuacionin origjinal si më poshtë: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Tani gjeni t dhe pastaj gjeni x për t = tg x.
7. 7 Ekuacione të veçanta trigonometrike.
   • Ekzistojnë disa ekuacione të veçanta trigonometrike që kërkojnë transformime specifike. Shembuj:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodiciteti i funksioneve trigonometrike.
   • Siç u përmend më herët, të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, domethënë, vlerat e tyre përsëriten pas një periudhe të caktuar. Shembuj:
     • Periudha e funksionit f (x) = sin x është 2π.
     • Periudha e funksionit f (x) = tan x është e barabartë me π.
     • Periudha e funksionit f (x) = sin 2x është π.
     • Periudha e funksionit f (x) = cos (x / 2) është 4π.
   • Nëse periudha është e specifikuar në problem, llogaritni vlerën "x" brenda kësaj periudhe.
   • Shënim: Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike nuk është një detyrë e lehtë dhe shpesh çon në gabime. Pra, kontrolloni me kujdes përgjigjet tuaja. Për ta bërë këtë, mund të përdorni një kalkulator grafik për të vizatuar ekuacionin e dhënë R (x) = 0. Në raste të tilla, zgjidhjet do të paraqiten si thyesa dhjetore (domethënë, π zëvendësohet me 3.14).