Përmbajtje

• Të shkelësh
• Metoda 1 nga 2: Tërheqja e rrënjës me faktorë kryesorë
• Metoda 2 nga 2: Gjetja e rrënjëve katrore pa kalkulator
• Me ndarje të gjatë
• Kuptoni procedurën
• Këshilla
• Paralajmërime

Para ardhjes së llogaritësve, të dy studentët dhe profesorët duhej të llogaritnin rrënjët katrore me stilolaps dhe letër. Në atë kohë u zhvilluan teknika të ndryshme për të trajtuar këtë punë ndonjëherë të vështirë, disa prej të cilave japin një vlerësim të përafërt dhe të tjerët llogaritin vlerën e saktë. Lexoni për të mësuar se si të gjeni rrënjën katrore të një numri në disa hapa të thjeshtë.

Të shkelësh

Metoda 1 nga 2: Tërheqja e rrënjës me faktorë kryesorë

1. Ndani numrin tuaj në faktorë të fuqisë. Kjo metodë përdor faktorët e një numri për të gjetur rrënjën katrore të një numri (në varësi të numrit, mund të jetë një përgjigje e saktë ose një vlerësim). faktorët të një numri të caktuar janë çdo sekuencë numrash që shumëzohen së bashku për të formuar atë numër të veçantë. Për shembull, mund të thuash që faktorët e 8 janë të barabartë me 2 dhe 4 sepse 2 × 4 = 8. Sheshet perfekte, nga ana tjetër, janë numra të plotë që janë produkt i numrave të plotë të tjerë. Për shembull, 25, 36 dhe 49 janë katrorë të përsosur sepse janë përkatësisht të barabartë me 5, 6 dhe 7. Faktorët e dytë të fuqisë, siç do ta keni kuptuar, janë faktorë që janë gjithashtu katrorë të përsosur. Për të gjetur një rrënjë katrore duke përdorur faktorët kryesor, së pari përpiquni të ndani numrin në faktorët e dytë të fuqisë së tij.
   • Merrni shembullin vijues. Ne do të gjejmë rrënjën katrore të 400. Për të filluar, ne e ndajmë numrin në faktorë të fuqisë. Meqenëse 400 është shumëfish i 100, ne e dimë që ndahet në mënyrë të barabartë me 25 - një katror perfekt. Votimi i shpejtë na tregon se 400/25 = 16,16 gjithashtu ndodh të jetë një katror i përsosur. Pra, faktorët kubikë të 400 janë 25 dhe 16 sepse 25 × 16 = 400.
   • Ne e shkruajmë këtë si: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Merrni rrënjët katrore të faktorëve tuaj të dytë të fuqisë. Rregulli i produktit i rrënjëve katrore thotë se për çdo numër të dhënë a dhe b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Për shkak të kësaj vetie, ne tani mund të marrim rrënjët katrore të faktorëve të katrorëve dhe t'i shumëzojmë së bashku për të marrë përgjigjen.
   • Në shembullin tonë, ne marrim rrënjët katrore të 25 dhe 16. Shih më poshtë:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) q Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Nëse numri juaj nuk mund të faktorizohet në mënyrë të përsosur, thjeshtojeni atë. Në realitet, numrat që dëshironi të përcaktoni rrënjët katrore nuk do të jenë numra të këndshëm të rrumbullakosur me katrorë të bukur si 400. Në këto raste, nuk mund të jetë e mundur të merrni një numër të plotë si përgjigje. Në vend të kësaj, duke përdorur të gjithë faktorët e fuqisë që mund të gjeni, mund ta përcaktoni përgjigjen si një rrënjë katrore më e vogël, më e lehtë për t'u përdorur. Ju e bëni këtë duke zvogëluar numrin në një kombinim të faktorëve të fuqisë dhe faktorëve të tjerë, dhe pastaj duke e thjeshtuar atë.
   • Ne marrim rrënjën katrore të 147 si shembull. 147 nuk është produkt i dy shesheve perfekte, kështu që nuk mund të marrim një vlerë të bukur të plotë. Por është produkt i një katrori perfekt dhe i një numri tjetër - 49 dhe 3. Ne mund ta përdorim këtë informacion për të shkruar përgjigjen tonë në termat më të thjeshtë:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Thjeshtoni, nëse është e nevojshme. Duke përdorur rrënjën katrore në termat më të thjeshtë, zakonisht është mjaft e lehtë të marrësh një vlerësim të përafërt të përgjigjes duke vlerësuar rrënjët katrore të mbetura dhe duke i shumëzuar ato. Një mënyrë për të përmirësuar supozimet tuaja është të gjeni katrorët e përsosur në të dy anët e numrit në rrënjën tuaj katrore. Ju e dini që vlera dhjetore e numrit në rrënjën tuaj katrore është diku ndërmjet këtyre dy numrave, kështu që hamendja juaj do të duhet të jetë midis këtyre numrave gjithashtu.
   • Le të kthehemi në shembullin tonë. Meqenëse 2 = 4 dhe 1 = 1, ne e dimë që Sqrt (3) është midis 1 dhe 2 - ndoshta më afër 2 se 1. Ne vlerësojmë se 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Nëse e kontrollojmë këtë me llogaritësin, shohim se jemi shumë afër përgjigjes: 12,13.
     • Kjo funksionon edhe për numrat më të mëdhenj. Për shembull, sqrt (35) është afërsisht midis 5 dhe 6 (ndoshta më afër 6). 5 = 25 dhe 6 = 36.35 është midis 25 dhe 36, kështu që rrënja katrore do të jetë midis 5 dhe 6. Meqenëse 35 është pak më poshtë 36, mund të themi me siguri se rrënja katrore e saj vetëm është më pak se 6. Kontrollimi me një makinë llogaritëse na jep një përgjigje prej rreth 5.92 - kishim të drejtë.
5. Përndryshe, si hap i parë, ju mund ta thjeshtoni numrin në shumëfishi më pak i përbashkët. Kërkimi i faktorëve të fuqisë nuk është i nevojshëm nëse mund të gjeni lehtësisht faktorë kryesor të një numri (faktorë që janë gjithashtu numra të thjeshtë në të njëjtën kohë). Shkruaj numrin në terma të shumëfishave më pak të zakonshëm. Pastaj kërkoni midis faktorëve tuaj për përputhjen e çifteve të numrave të thjeshtë. Kur të gjeni dy faktorë kryesorë që përputhen, hiqni ata nga rrënja katrore dhe vendosni a të këtyre numrave jashtë shenjës së rrënjës katrore.
   • Për shembull, ne përcaktojmë rrënjën katrore të 45 duke përdorur këtë metodë. Ne e dimë se 45 = 9 × 5 dhe atë 9 = 3 × 3. Kështu që rrënjën katrore mund ta shkruajmë kështu: Sqrt (3 × 3 × 5). Thjesht fshini 3-të dhe vendosni një 3 jashtë rrënjës katrore për të marrë një rrënjë katrore të thjeshtuar: (3) Sqrt (5). Tani lehtë mund të bëni një vlerësim.
   • Një shembull i fundit; ne përcaktojmë rrënjën katrore të 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Ne kemi disa 2 në rrënjën tonë katrore. Meqenëse 2 është kryesor, ne mund të heqim një palë dhe të vendosim një 2 jashtë rrënjës.
     • = Rrënja jonë katrore në terma më të thjeshtë është (2) Sqrt (2 × 11) ose (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Tani mund t'i afrohemi Sqrt (2) dhe Sqrt (11) dhe të gjejmë një përgjigje të përafërt, nëse do të dëshironim.

Metoda 2 nga 2: Gjetja e rrënjëve katrore pa kalkulator

Me ndarje të gjatë

1. Ndani shifrat e numrit tuaj në çifte. Kjo metodë është e ngjashme me ndarjen e gjatë, e cila ju lejon të ndani e saktë rrënjë katrore e një shifre numër pas shifre. Megjithëse nuk është thelbësore, ndarja e një numri në pjesë të zbatueshme mund ta bëjë zgjidhjen më të lehtë, veçanërisht nëse është e gjatë. Së pari vizatoni një vijë vertikale që ndan zonën e punës në 2 zona, pastaj një vijë më të shkurtër afër majës së zonës së djathtë, duke e ndarë atë në një pjesë të sipërme më të vogël dhe një pjesë më të madhe poshtë. Pastaj ndani numrin në çifte numrash, duke filluar nga pika dhjetore. Sipas këtij rregulli, 79520789182.47897 bëhet "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Shkruajeni këtë numër në pjesën e sipërme të majtë.
   • Si shembull, le të llogarisim rrënjën katrore të 780.14. Ndani hapësirën tuaj të punës si më sipër dhe shkruani "7 80, 14" në këndin e sipërm të majtë. Ayshtë në rregull nëse ka vetëm një numër në të majtën, në vend të dy. Ju pastaj shkruani përgjigjen (rrënja katrore e 780.14) në krye të zonës së djathtë.
2. Gjeni numrin e plotë më të madh n katrori i të cilit është më i vogël ose i barabartë me shifrën ose numrin më të majtë. Gjeni katrorin më të madh që është më i vogël ose i barabartë me këtë numër dhe më pas gjeni rrënjën katrore të këtij katrori. Ky numër është n. Shkruajeni atë në zonën e sipërme të djathtë dhe shkruani katrorin e n në kuadrantin e poshtëm të asaj zone.
   • Në shembullin tonë, shifra më e majta është numri 7. Meqenëse e dimë që 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, mund të themi që n = 2 sepse ky është numri i plotë më i madh, sheshi i të cilit është më i vogël ose i barabartë me 7. Shkruaj 2 në kuadrantin lart djathtas. Kjo është shifra e parë e përgjigjes. Shkruaj 4 (katrori i 2) në kuadrantin e poshtëm të djathtë. Ky numër është i rëndësishëm për hapin tjetër.
3. Zbrit numrin që ke llogaritur të shifrës ose numrit më të majtë. Ashtu si me ndarjen e gjatë, hapi tjetër është zbritja e katrorit nga numri që sapo përdorëm për llogaritjen. Shkruajeni këtë numër nën numrin më të majtë dhe zbritini. Shkruaj përgjigjen më poshtë.
   • Në shembullin tonë, ne shkruajmë një 4 nën 7 dhe e zbresim atë. Kjo jep 3 ne pergjigje.
4. Zhvendos numrin tjetër poshtë. Vendoseni këtë pranë vlerës që keni gjetur në ndryshimin e mëparshëm. Shumëzoni numrin në të djathtë sipër me dy dhe shkruajeni në të djathtë. Lini hapësirë ​​pranë numrit që sapo keni shkruar për shumën që do të bëni në hapin tjetër. Shkruaj këtu "_ × _ =" ".
   • Në shembullin tonë, numri tjetër është "80". Shkruani "80" pranë 3 në kuadrantin e majtë. Pastaj shumëzoni numrin në të djathtë sipër me 2. Ky numër është 2, kështu që 2 2 = 4. Shkruani "" 4 "në të djathtë, të ndjekur nga _×_=.
5. Vendosni numrat në të djathtë. Në hapësirën bosh të shumës (djathtas), fut numrin e plotë më të madh që do ta bëjë rezultatin e shumës së shumëzimit në të djathtë më pak ose të barabartë me numrin aktual në të majtë.
   • Në shembullin tonë, ne fusim 8, dhe kjo jep 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Kjo është më e madhe se 380. Pra, 8 është shumë i madh, por 7 ndoshta nuk është. Plotëso 7 dhe zgjidh: 4 (7) × 7 = 329. 7 është i mirë sepse 329 është më pak se 380. Shkruaj 7 lart djathtas. Kjo është shifra e dytë në rrënjën katrore të 780.14.
6. Zbritni numrin që sapo llogaritët nga numri aktual në të majtë. Kështu që ju do të hiqni rezultatin e shumëzimit në të djathtë nga përgjigja aktuale në të majtë. Shkruani përgjigjen tuaj direkt poshtë tij.
   • Në shembullin tonë, ne zbresim 329 nga 380, dhe kjo jep 51 si rezultat.
7. Përsëritni hapin 4. Zhvendos çiftin tjetër të numrave poshtë nga 780.14. Kur të arrini në një presje, shkruajeni atë presje në përgjigjen në të djathtë. Pastaj shumëzoni numrin e sipërm të djathtë me 2 dhe shkruani përgjigjen pranë ("_ × _") si më sipër.
   • Në përgjigjen tonë ne tani shkruajmë një presje sepse edhe këtë e hasim në 780.14. Lëviz çiftin tjetër (14) poshtë katranit të majtë. 27 x 2 = 54, kështu që ne shkruajmë "54 _ × _ =" në kuadrantin e poshtëm të djathtë.
8. Përsëritni hapat 5 dhe 6. Gjeni numrin më të madh që jep një përgjigje më të vogël ose të barabartë me numrin aktual në të majtë. Zgjidh
   • Në shembullin tonë, 549 9 = 4941, i cili është më i vogël ose i barabartë me numrin në të majtë (5114). 549 × 10 = 5490, e cila është shumë e lartë, kështu që 9 është përgjigjja jonë. Shkruajeni 9 si numrin tjetër djathtas dhe zbritni rezultatin e shumëzimit nga numri i majtë: 5114 -4941 = 173.
9. Për ta bërë rezultatin të saktë, përsëritni procedurën e mëparshme derisa të gjeni përgjigjen me numrin e numrave dhjetorë (të qindtat, të mijtat) që ju duhen.

Kuptoni procedurën

1. Konsideroni numrin rrënja katrore e të cilit dëshironi të llogaritni si sipërfaqja S e një katrori. Meqenëse sipërfaqja e një katrori është L, ku L është gjatësia e njërës prej brinjëve të tij, kështu që duke gjetur rrënjën katrore të numrit tuaj, përpiqeni të llogaritni gjatësinë L të anës së atij katrori.
2. Jepni secilës shifër të përgjigjes suaj një letër. Vendosni ndryshoren A si shifrën e parë të L (rrënja katrore që po përpiqemi të llogarisim). B është shifra e dytë, C e treta, etj.
3. Jepni një shkronjë secilës "palë numrash" të numrit me të cilin filloni. Jepni ndryshoren S_a te çifti i parë i shifrave në S (vlera fillestare), S._b te çifti i dytë i shifrave, etj.
4. Kuptoni marrëdhënien midis kësaj metode dhe ndarjes së gjatë. Kjo metodë për të gjetur një rrënjë katrore është në thelb një ndarje e gjatë, ku ju ndani vlerën fillestare me rrënjën e saj katrore dhe "jepni" rrënjën katrore si përgjigje. Ashtu si me ndarjen e gjatë, ku ju intereson vetëm shifra tjetër në një kohë, ju interesoheni vetëm për dy shifrat e ardhshëm në të njëjtën kohë (të cilat korrespondojnë me shifrën tjetër të rrënjës katrore).
5. Gjeni numrin më të madh katrori i të cilit është më i vogël ose i barabartë me S._a është Shifra e parë A në përgjigjen tonë është numri i plotë më i madh, sheshi i të cilit nuk është më i madh se S._a (Një e tillë që A² ≤ Sa (A + 1)). Në shembullin tonë, S_a = 7, dhe 2² ≤ 7 3², pra A = 2.
   • Vini re se nëse ndani 88962 me 7 duke përdorur ndarjen e gjatë, hapi i parë është i barabartë: së pari merreni me shifrën e parë të 88962 (8) dhe dëshironi që shifra më e madhe të shumëzohet me 7 që është më e vogël ose e barabartë me 8. Në thelb ju përcaktoni d e tillë që 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Në këtë rast, d është e barabartë me 1.
6. Vizualizoni sheshin që dëshironi të gjeni zonën. Përgjigja juaj, rrënja katrore e vlerës fillestare, është L, e cila përshkruan gjatësinë e një katrori me sipërfaqen S (vlera fillestare). Vlerat për A, B dhe C përfaqësojnë shifrat në vlerën L. Një mënyrë tjetër për të thënë këtë është se për një përgjigje 2-shifrore, 10A + B = L, dhe për një përgjigje 3-shifrore, 100A + 10B + C = L, e kështu me radhë.
   • Në shembullin tonë (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Mos harroni se 10A + B përfaqëson përgjigjen tonë L së bashku me B në pozicionin e njësive, dhe A në pozicionin e dhjetësheve. Për shembull, nëse A = 1 dhe B = 2, atëherë 10A + B është numri 12. (10A + B) është sipërfaqja e tërë sheshit, ndërsa 100A² është zona e sheshit më të madh të brendshëm, B² është sipërfaqja e sheshit më të vogël dhe 10A × B është sipërfaqja e secilit prej drejtkëndëshave të mbetur. Përmes kësaj procedure të gjatë, të komplikuar, ne mund të gjejmë sipërfaqen e tërë sheshit duke shtuar zonat e shesheve dhe drejtkëndëshave që janë pjesë e tij.
7. Zbrit A² nga S._a. Sillni një çift numrash (S._b) poshtë nga numri S. S._a S._b është pothuajse sipërfaqja e përgjithshme e sheshit, nga e cila sapo keni zbritur sipërfaqen e sheshit më të madh të brendshëm. Pjesa e mbetur është, të themi, numri N1, të cilin e morëm në hapin 4 (N1 = 380 në shembullin tonë). N1 është e barabartë me 2 × 10A × B + B² (zona e 2 drejtkëndëshave plus sipërfaqja e sheshit të vogël).
8. Shikoni N1 = 2 × 10A × B + B², i shkruar gjithashtu si N1 = (2 × 10A + B) × B. Në shembullin tonë, ju tashmë i njihni N1 (380) dhe A (2), kështu që tani duhet të gjeni B. B ndoshta nuk është një numër i plotë, prandaj duhet të bësh në të vërtetë gjeni numrin më të madh B, i tillë që (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Deri tani keni: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Zgjidh ekuacionin. Për të zgjidhur këtë ekuacion, shumëzoni A me 2, zhvendoseni në dhjetëshe (shumëzoni me 10), vendosni B në njësi dhe shumëzoni rezultatin me B. Me fjalë të tjera, (2 × 10A + B) × B. Kjo është saktësisht ajo që bëni kur shkruani "N_ × _ =" (me N = 2 × A) në kuadrantin e poshtëm të djathtë në hapin 4. Në hapin 5 ju përcaktoni numrin e plotë më të madh B që përshtatet poshtë vijës, pra (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Zbritni sipërfaqen (2 × 10A + B) × B nga sipërfaqja totale. Kjo i jep zonës S- (10A + B) ² që nuk i keni marrë ende parasysh (dhe që përdorni për të llogaritur numrat vijues në të njëjtën mënyrë).
11. Për të llogaritur shifrën tjetër C, përsëritni procedurën. Lëviz çiftin tjetër të numrave nga S poshtë (S_c) për të marrë N2 në të majtë dhe për të kërkuar C-në më të madhe që tani të keni: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (i barabartë me dyfishin e numrit dyshifror "AB" të ndjekur nga "_ × _ =" Tani përcaktoni numrin më të madh që mund të fusni këtu, i cili do t'ju japë një përgjigje që është më e vogël ose e barabartë me N2.

Këshilla

• Lëvizja e presjes me dy vende (një faktor 100) lëviz presjen në rrënjën katrore përkatëse me një vend (një faktor 10).
• Në shembull, 1.73 mund të konsiderohet "pjesa e mbetur": 780.14 = 27.9² + 1.73.
• Kjo metodë funksionon për çdo sistem numrash, jo vetëm për sistemin dhjetor (dhjetor).
• Mos ngurroni të vendosni llogaritjet atje ku dëshironi. Disa njerëz e shkruajnë atë mbi numrin që duan të llogarisin rrënjën katrore të.
• Një metodë alternative është si vijon: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Për shembull, për të llogaritur rrënjën katrore të 780.14, merrni numrin e plotë katrori i të cilit është më afër 780.14 (28), pra = 780.14, x = 28 dhe y = -3.86. Plotësimi dhe vlerësimi na jep x + y / (2x) dhe kjo jep (terma të thjeshtuar) 78207/2800 ose rreth 27.931 (1); termi vijues, 4374188/156607 ose rreth 27.930986 (5). Çdo term shton rreth 3 presje dhjetore me saktësinë në atë të mëparshmin.

Paralajmërime

• Sigurohuni që të ndani numrin në çifte nga pika dhjetore. Ndarja e 79520789182.47897 si "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "jep një rezultat të pasaktë.