Përmbajtje

• Të shkelësh
• Këshilla

Si grafik shikoni një ekuacion kuadratik sëpatë + bx + c , gjithashtu e cila është shkruar si a (x - h) + k, duken si një kurbë e lëmuar në formë U. Ne e quajmë këtë parabolë. Grafikimi i një ekuacioni kuadratik përfshin gjetjen e kulmit, drejtimit dhe shpesh pikave të kryqëzimit me boshtin x dhe boshtin y. Në rastin e ekuacionit kuadratik relativisht të thjeshtë, mund të jetë gjithashtu e mjaftueshme për të futur një numër vlerash për x për të treguar këto pika në sistemin koordinativ, pas së cilës mund të vizatohet parabolë. Vazhdoni në hapin 1 për të filluar.

Të shkelësh

1. Përcaktoni se çfarë lloj ekuacioni të shkallës së dytë keni. Mund të shkruhet në dy mënyra: shënimi standard dhe shënimi kulm (një mënyrë tjetër për të shkruar formulën e rrënjës katrore). Ju mund t'i përdorni të dyja për të krijuar një grafik të një ekuacioni kuadratik, por procesi është paksa i ndryshëm në secilin rast. Shumicën e kohës do të hasni formën standarde, por sigurisht nuk dëmton të mësoni të përdorni të dyja format. Dy format e një ekuacioni kuadratik janë:
   • Forma standarde. Ekuacioni kuadratik shënohet si: f (x) = ax + bx + c ku a, b dhe c janë numra realë dhe a nuk është e barabartë me zero.
     • Dy shembuj të ekuacioneve standarde kuadratike: f (x) = x + 2x + 1 dhe f (x) = 9x + 10x -8.
   • Forma e kulmit. Ekuacioni kuadratik shënohet si: f (x) = a (x - h) + k ku a, h dhe k janë numra realë dhe a nuk është e barabartë me zero. Kjo formë quhet kulm sepse h dhe k i referohen drejtpërdrejt majës së parabolës tuaj në pikën (h, k).
     • Dy shembuj të ekuacioneve të formës kulme janë f (x) = 9 (x - 4) + 18 dhe -3 (x - 5) + 1
   • Për të bërë një grafik të këtyre ekuacioneve, së pari përcaktojmë majën (h, k) të grafikut. Në ekuacionin standard do ta gjeni këtë përmes: h = -b / 2a dhe k = f (h), ndërsa kjo tashmë është dhënë në formë kulmi sepse h dhe k ndodhin në ekuacion.
2. Përcaktoni ndryshoret tuaja. Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik zakonisht është e nevojshme të përcaktohen variablat a, b dhe c (ose a, h dhe k). Një ushtrim i rregullt do t'ju japë një ekuacion të shkallës së dytë në formën standarde, por mund të ndodhë edhe shënimi i kulmit.
   • Për shembull: funksioni standard f (x) = 2x + 16x + 39. Këtu kemi a = 2, b = 16 dhe c = 39.
   • Në shënimin e kulmit: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Këtu kemi a = 4, h = 5 dhe k = 12.
3. Llogarit h. Në shënimin e kulmit, vlera e h është dhënë tashmë, por në shënimin standard kjo vlerë ende nuk është llogaritur. Mos harroni se me ekuacionin standard vlen: h = -b / 2a.
   • Shembull 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Duke zgjidhur këtë shohim se h = -4.
   • Shembulli 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), menjëherë shohim se h = 5.
4. Njehso k. Ashtu si me h, k dihet tashmë nga ekuacionet e formës kulmore. Për ekuacionet në shënimin standard, mos harroni se k = f (h). Me fjalë të tjera, ju mund të gjeni k duke zëvendësuar çdo ndryshore x me vlerën e h.
   • Ne kemi parë për shembull 1 që h = -4. Për të gjetur k, ne e zgjidhim këtë ekuacion duke plotësuar këtë vlerë të h në ekuacion, për ndryshoren x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Nga shembulli 2 e dimë që vlera e k është e barabartë me 12, pa pasur nevojë për ndonjë llogaritje.
5. Vizatoni pjesën e sipërme ose të poshtme të grafikut. Maja ose lugina e parabolës tuaj është pika (h, k) - h qëndron për koordinatën x dhe k qëndron për koordinatën y. Kulmi është qendra e parabolës tuaj - pika më e lartë ose më e ulët, kulmi ose lugina, e një grafiku në formën e një "U" ose anasjelltas.Të jesh në gjendje të përcaktosh majën e një parabolë është një pjesë thelbësore e vizatimit të një grafiku të saktë - shpesh përcaktimi i majës së një parabolë është pjesë e një problemi matematikor në shkollë.
   • Në Shembullin 1, pjesa e sipërme e grafikut është (-4.7). Vizatoni pikën në grafikun tuaj dhe sigurohuni që të emëroni koordinatat në mënyrë korrekte.
   • Në shembullin 2, pjesa e sipërme është (5.12). Pra, nga pika (0,0) shkoni 5 vende në të djathtë dhe pastaj lart 12.
6. Nëse është e nevojshme, vizatoni boshtin e simetrisë së parabolës. Boshti i simetrisë së një parabolë është vija që kryqëzon figurën në mes, duke e ndarë atë saktësisht në gjysmë. Njëra anë e grafikut pasqyrohet përgjatë kësaj linje në anën tjetër të grafikut. Në ekuacionet kuadratike ose ax + bx + c ose a (x - h) + k, ky bosht është vija paralele me boshtin y që kalon përmes kulmit të parabolës.
   • Në rastin e shembullit 1, boshti i simetrisë është vija paralele me boshtin y dhe kalon nëpër pikën (-4,7). Megjithëse nuk është pjesë e vetë parabolës, nxjerrja në pah e këtij udhëzimi lehtë mund t'ju tregojë se sa simetrike është lakorja e parabolës.
7. Përcaktoni drejtimin e parabolës. Pasi të keni zbuluar se cila është maja e parabolës, është e nevojshme të dini nëse keni të bëni me një mal apo me një parabolë lugine, d.m.th. nëse hapja është në fund apo në majë. Për fat të mirë, kjo është shumë e lehtë. Nëse "a" është pozitive, keni të bëni me një parabolë lugine; nëse "a" është negativ është një parabolë malore (me hapjen në fund)
   • Në shembullin 1 kemi të bëjmë me funksionin (f (x) = 2x + 16x + 39), pra kjo është një parabolë lugine, sepse a = 2 (pozitive).
   • Në shembullin 2 kemi të bëjmë me funksionin f (x) = 4 (x - 5) + 12), dhe kjo është gjithashtu një parabolë lugine sepse a = 4 (pozitive).
8. Përcaktoni pikat e kryqëzimit të parabolës nëse është e nevojshme. Shpesh kur një problemi i matematikës kërkohet të japë kryqëzimet e parabolës me boshtin x (këto janë "zero", a ose dy pikat ku parabolë kryqëzohet ose godet boshtin x). Edhe nëse nuk kërkohen, këto pika janë shumë të rëndësishme për të qenë në gjendje të vizatoni një grafik të saktë. Por jo të gjitha parabolat kanë një kryqëzim me boshtin x. Nëse keni të bëni me një parabolë të luginës dhe pika e luginës është mbi boshtin x ose, në rastin e një parabolë malore, pak poshtë boshtit x, atëherë thjesht nuk ka pika kryqëzimi për tu gjetur. Nëse është kështu, përdorni një nga metodat e mëposhtme:
   • Përcaktoni që f (x) = 0 dhe zgjidhni ekuacionin. Kjo metodë mund të funksionojë për ekuacione të thjeshta kuadratike, veçanërisht në formën e kulmit, por do të zbuloni se kjo bëhet gjithnjë e më e vështirë pasi funksionet bëhen më komplekse. Më poshtë janë disa shembuj.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 dhe 13 janë pikat e kryqëzimit me boshtin x të parabolës.
   • Ekuacioni i faktorit. Disa ekuacione në formën ax + bx + c mund të rishkruhen lehtësisht si (dx + e) ​​(fx + g), ku dx × fx = sëpatë, (dx × g + fx × e) = bx dhe e g = c Në këtë rast, kryqëzimet x janë vlerat e x ku secili term brenda kllapave bëhet i barabartë me 0. Për shembull:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Në këtë rast, pika e kryqëzimit është -1 sepse, e futur në të dy faktorët, kjo jep zero.
   • Përdorni formulën abc. Nëse nuk është e lehtë të kuptosh kryqëzimet, ose të faktorizosh ekuacionin, përdor formulën "abc" posaçërisht për këtë qëllim. Supozojmë një ekuacion në formën ax + bx + c. Pastaj futni vlerat e a, b dhe c, në formulën x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Vini re se kjo shpesh ju jep dy përgjigje për x, e cila është e mirë - kjo thjesht do të thotë se parabola juaj ka dy kryqëzime me boshtin x. Ja një shembull:
     • Vendosni -5x + 1x + 10 në ekuacion në mënyrën vijuese:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) dhe (-15.18 / -10). Pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin x janë afërsisht x = -1,318 dhe 1,518
     • Si në shembullin 1 me ekuacionin 2x + 16x + 39, kjo do të duket kështu:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Meqenëse nuk është e mundur të gjesh rrënjën katrore të një numri negativ, ne e dimë se nuk ka pika kryqëzimi me boshtin x për këtë parabolë të veçantë.
9. Nëse është e nevojshme, përcaktoni kryqëzimin e parabolës me boshtin y. Shpesh nuk është e nevojshme, por ndonjëherë kërkohet të gjesh këtë kryqëzim, për shembull për një problem të matematikës. Kjo është mjaft e lehtë - vendosni vlerën e x në 0 dhe zgjidhni ekuacionin për f (x) ose y, i cili ju jep vlerën y të pikës ku parabola kryqëzohet me boshtin y. Dallimi me pikat e kryqëzimit përmes boshtit x është se në boshtin y ekziston gjithmonë vetëm një pikë kryqëzimi. Shënim - me ekuacione standarde, kryqëzimi me boshtin y është në y = c.
   • Për shembull, ne e dimë që ekuacioni ynë kuadratik 2x + 16x + 39 ka një kryqëzim y = 39, por gjithashtu mund ta gjejmë këtë si më poshtë:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Kryqëzimi i parabolës me boshtin y: y = 39. Siç tregohet më sipër, ne lehtë mund ta lexojmë pikën e kryqëzimit sepse y = c.
   • Ekuacioni 4 (x - 5) + 12 ka një kryqëzim me boshtin y i cili mund të gjendet si më poshtë:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Kryqëzimi me boshtin y: y = 112.
10. Nëse mendoni se kjo është e nevojshme, së pari vizatoni pikë shtesë dhe pastaj tërë grafikun. Tani duhet të keni një majë ose një luginë, një drejtim, pikat e kryqëzimit me boshtin x dhe ndoshta me boshtin y të ekuacionit tuaj. Nga kjo pikë mund të përpiqeni të vizatoni parabolën duke përdorur këto pika ose mund të përpiqeni të gjeni më shumë pikë për ta bërë grafikun më të saktë. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është thjesht të fusni një numër vlerash x, të cilat do të kthejnë një numër vlerash y. Shpesh do t'ju kërkohet (nga mësuesi) të llogarisni një numër pikësh përpara se të filloni të vizatoni parabolën.
    • Le të hedhim një vështrim tjetër në ekuacionin x + 2x + 1. Ne tashmë e dimë se kryqëzimi i vetëm me boshtin x është (-1,0). Meqenëse ai prek vetëm boshtin x në këtë pikë, mund të nxjerrim përfundimin se maja e grafikut është e barabartë me këtë pikë. Deri më tani kemi vetëm një pikë të kësaj parabole - jo gati sa për të nxjerrë një grafik. Le të gjejmë edhe disa pika për t'u siguruar që kemi më shumë vlera.
      • Le të përpiqemi të gjejmë vlerat y që korrespondojnë me vlerat e mëposhtme x: 0, 1, -2 dhe -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Atëherë pika (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Pastaj pika (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Atëherë pika (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Pastaj pika (-3,4).
      • Vendosni këto pika në grafik dhe vizatoni parabolën tuaj. Vini re se parabola është plotësisht simetrike - nëse i dini pikat në njërën anë të grafikut, zakonisht mund t'i kurseni vetes shumë punë duke përdorur këto pika për të gjetur pikat në anën tjetër të boshtit të simetrisë.

Këshilla

• Nëse është e nevojshme, rrumbullakoni numrat ose përdorni thyesat. Kjo mund të ndihmojë për të shfaqur një tabelë në mënyrë korrekte.
• Vini re se nëse, për funksionin f (x) = ax + bx + c, b ose c janë të barabartë me zero, ato terma do të zhduken. Për shembull, 12x + 0x + 6 bëhet e barabartë me 12x + 6 sepse 0x është e barabartë me 0.