Analizoni ekuacionet kuadratike në faktorë - Këshilla

Video: J8MATHK10-1-Shoq- Kombinacionet pa perseritje

Përmbajtje

Hapat
Këshilla
Çfarë ju duhet

Në matematikë, analiza e faktorit është të gjesh numra ose shprehje me prodhimin e një numri ose ekuacioni të dhënë. Analiza e faktorëve është një aftësi e dobishme për të mësuar për zgjidhjen e problemeve themelore algjebrike: aftësia për të faktorizuar mirë është pothuajse kritike kur bëhet fjalë për të punuar. me ekuacione algjebrike ose forma të tjera polinome. Analiza e faktorëve mund të përdoret për të zvogëluar shprehjet algjebrike, duke e bërë problemin më të thjeshtë. Falë saj, ju mund të eliminoni disa përgjigje të mundshme shumë më shpejt sesa t'i zgjidhni me dorë.

Hapat

Metoda 1 e 3: Analizoni numrat dhe shprehjet themelore algjebrike në faktorë

Kuptoni përkufizimin e analizës faktoriale kur aplikoni te numrat e vetëm. Edhe pse konceptualisht është e thjeshtë, në praktikë, zbatimi i ekuacioneve komplekse mund të jetë mjaft sfidues. Prandaj, qasja konceptuale e analizës më të lehtë të faktorit është të fillosh nga numrat e vetëm dhe pastaj të kalosh te ekuacionet e thjeshta përpara se të vazhdosh me aplikime më të përparuara. Faktori për një numër të dhënë janë numrat me prodhimin e të njëjtit numër. Për shembull, 1, 12, 2, 6, 3 dhe 4 janë faktorë të 12 sepse 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 4 janë të gjithë të barabartë me 12.
- Me fjalë të tjera, faktorët e një numri të dhënë janë numrat është e ndarë me atë numër.
- A mund ta gjeni faktorin e plotë 60? Numri 60 përdoret për shumë qëllime të ndryshme (minuta në një orë, sekonda në një minutë, etj.) Sepse është i ndashëm me shumë numra.
  - Numri 60 ka faktorët e mëposhtëm: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dhe 60.
Kuptoni që shprehjet që përmbajnë variabla gjithashtu mund të faktorizohen. Si dhe numrat e pavarur, variablat me koeficientë aritmetikë gjithashtu mund të faktorizohen. Për ta bërë këtë, ne vetëm duhet të gjejmë faktorët e koeficientit të ndryshores. Të dish si të faktorizosh analizën është shumë e dobishme në thjesht transformimin e ekuacioneve algjebrike që përmbajnë ndryshore.
- Për shembull, 12x mund të rishkruhet për të qenë rezultate të 12 dhe x. Shtë e mundur të shkruash 12x si 3 (4x), 2 (6x), etj., Dhe të përdorësh cilindo faktor i përshtatet më mirë përdorimit të parashikuar të 12.
  - Mund të shkoni deri në analizën 12x shume here. Me fjalë të tjera, nuk ka nevojë të ndalemi në 3 (4x) ose 2 (6x) - ne mund të analizojmë 4x dhe 6x për të marrë përkatësisht 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Kjo formulë është ekuivalente.
Zbatoni vetitë shoqëruese të shumëzimit për të faktorizuar ekuacionet algjebrike. Duke përdorur njohuritë tuaja për të analizuar si numrat e pavarur ashtu edhe koeficientët në faktorë, ju mund të thjeshtoni ekuacionet e thjeshta algjebrike duke gjetur faktorë të zakonshëm të numrave dhe ndryshoreve të përfshira në ekuacion. Shpesh, që ekuacioni të jetë sa më i thjeshtë, do të përpiqemi të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Ky transformim i thjeshtë është i mundur falë natyrës asociuese të shumëzimit - për çdo numër a, b dhe c, kemi: a (b + c) = ab + ac.
- Le të shqyrtojmë shembullin e mëposhtëm të problemit. Për të faktorizuar ekuacionin algjebrik 12x + 6 në një faktor, së pari, ne gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët prej 12x dhe 6. 6 është numri më i madh që të dy 12x dhe 6 janë të pjesëtueshëm me, kështu që ne mund të konvertojmë veçmas. zvogëloni ekuacionin në 6 (2x + 1).
- I njëjti proces zbatohet për ekuacionet që mbajnë shenja dhe thyesa negative. Për shembull x / 2 + 4 mund të shndërrohet thjesht në 1/2 (x + 8), dhe -7x + -21 mund të zbërthehet në -7 (x + 3).
reklamë

Metoda 2 e 3: Analiza e ekuacioneve kuadratike në faktorë

Sigurohuni që ekuacioni të jetë në formë kuadratike (ax + bx + c = 0). Ekuacioni kuadratik ka formën ax + bx + c = 0, ku a, b dhe c janë konstante dhe a është jozero (vini re se a mund e barabartë me 1 ose -1). Nëse ekuacioni me një ndryshore (x) përmban një ose më shumë terma që përmbajnë katrorin e x, shpesh mund të përdorni algjebrën themelore për të shndërruar njërën anë të shenjës së barabartë në 0 dhe le lepë, etj. ne anen tjeter.
- Për shembull, ekuacioni algjebrik 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 mund të reduktohet në x + 6x + 9 = 0, i cili është një formë kuadratike.
- Ekuacionet në të cilat x ka një eksponent më të lartë, të tilla si x, x, etj. nuk mund të jetë kuadratike. Ato janë kuadratike, kuaternare, ... përveç nëse ekuacioni mund të zvogëlohet duke eliminuar termat që përmbajnë fuqitë e 3 ose më shumë të x.
Me ekuacionet kuadratike, kur a = 1, zbërthehemi në (x + d) (x + e), ku d × e = c dhe d + e = b. Nëse ekuacioni kuadratik është në formën x + bx + c = 0 (ose me fjalë të tjera, nëse koeficienti x = 1), ekziston mundësia (por jo e sigurt) që të mund të përdorim një llogaritje relativisht të shpejtë. është e thjeshtë të faktorizosh këtë ekuacion. Gjeni dy numra të barabartë me c dhe shuma është e barabartë me b. Pasi të keni gjetur d dhe e, zëvendësojini ato me shprehjen e mëposhtme: (x + d) (x + e). Kur shumëzohen së bashku, këto dy elemente na japin ekuacionin kuadratik më lart - me fjalë të tjera, ata janë faktorë të ekuacionit.
- Merrni për shembull ekuacionin kuadratik x + 5x + 6 = 0. 3 dhe 2 kanë një produkt prej 6 dhe në të njëjtën kohë, kanë një total prej 5. Prandaj, ne thjesht mund ta konvertojmë ekuacionin në (x + 3) ( x + 2).
- Ky rregullim i shpejtë themelor do të jetë pak më ndryshe kur vetë ekuacioni është pak më ndryshe:
  - Nëse ekuacioni kuadratik është në formën x-bx + c, përgjigjja juaj do të jetë e formës: (x - _) (x - _).
  - Nëse është në formën x + bx + c, përgjigjja juaj do të jetë: (x + _) (x + _).
  - Nëse është në x-bx-c, përgjigjja juaj do të jetë në formën (x + _) (x - _).
- Shënim: në hapësira mund të jenë thyesa ose dhjetore. Për shembull, ekuacioni x + (21/2) x + 5 = 0 zbërthehet në (x + 10) (x + 1/2).
Nëse është e mundur, kryeni analizën e faktorëve duke testuar. Besoni apo jo, me ekuacionin kuadratik të pakomplikuar, një nga metodat e pranuara të faktorizimit është thjesht të shikoni problemin, dhe pastaj të peshoni të gjitha përgjigjet e mundshme deri sa një përgjigje e saktë. Njihet gjithashtu si metoda e provës.Nëse ekuacioni ka formën ax + bx + c dhe a> 1, faktorizimi juaj do të ketë formën (dx +/- _) (ish +/- _), ku d dhe e janë konstante tjetri nuk është i barabartë me a. d ose e (ose të dyja) mund është e barabartë me 1, megjithëse nuk do të jetë domosdoshmërisht. Nëse të dy janë të barabartë me 1, ju në thelb do të kishit përdorur punën e shpejtë të treguar më sipër.
- Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm të problemit. Në shikim të parë, 3x - 8x + 4 duket mjaft frikësuese. Sidoqoftë, pasi të kuptoni se 3 ka vetëm dy faktorë (3 dhe 1), problemi bëhet më i lehtë sepse ne e dimë që përgjigja duhet të jetë e formës (3x +/- _) (x +/- _). Në këtë rast, zëvendësimi i -2 në të dy hapësirat jep përgjigjen e saktë. -2 × 3x = -6x dhe -2 × x = -2x. -6x dhe -2x total i barabartë me -8x. -2 × -2 = 4, pra, mund të shihet se elementët e zbërthyer në kllapa na japin ekuacionin fillestar.
Zgjidh problemin duke plotësuar katrorin. Në disa raste, ekuacionet kuadratike mund të shumëzohen shpejt dhe lehtë duke përdorur një identitet të veçantë algjebrik. Çdo ekuacion kuadratik i formës x + 2xh + h = (x + h). Prandaj, nëse në ekuacion, b është dyfishi i rrënjës katrore të c, ekuacioni mund të zbërthehet në (x + (sqrt (c))).
- Ekuacioni x + 6x + 9 do të funksiononte për këtë formë, për shembull. 3 është e barabartë me 9 dhe 3 × 2 është e barabartë me 6. Pra, ne e dimë që forma e faktorizimit të këtij ekuacioni është (x + 3) (x + 3), ose (x + 3).
Zgjidh ekuacionet kuadratike me faktorë. Sido që të jetë, pasi të jetë faktorizuar shprehja kuadratike, ju mund të gjeni një përgjigje të mundshme për vlerën e x duke i dhënë secilit faktor zero dhe duke e zgjidhur atë. Meqenëse jeni duke kërkuar vlerën e x të tillë që ekuacioni të jetë zero, çdo x që bën që një faktor të jetë zero do të jetë një zgjidhje e mundshme për atë ekuacion.
- Kthehuni te ekuacioni x + 5x + 6 = 0. Kjo zbërthehet në (x + 3) (x + 2) = 0. Kur një faktor është zero, i gjithë ekuacioni bëhet zero. Zgjidhje të mundshme të x janë numrat që bëjnë (x + 3) dhe (x + 2) të barabartë me 0, -3 dhe -2, përkatësisht.
Kontrolloni përgjigjet tuaja - disa mund të jenë ekzotike! Kur gjeni zgjidhje të mundshme të x, zëvendësojini ato me ekuacionin origjinal për të përcaktuar nëse janë të sakta apo jo. Ndonjëherë, përgjigja e gjen nuk ka problem bën që ekuacioni origjinal të jetë zero kur të zëvendësohet. Ne i quajmë këto zgjidhje Ekzotike dhe eliminimin e tyre.
- Le të zëvendësojmë -2 dhe -3 për x + 5x + 6 = 0. Së pari, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Po, pra -2 është një zgjidhje e vlefshme e ekuacionit.
- Tani, le të provojmë me -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Kjo është gjithashtu e vërtetë dhe prandaj, -3 është gjithashtu një zgjidhje e vlefshme e ekuacionit.
reklamë

Metoda 3 e 3: Analizoni llojet e tjera të ekuacioneve në faktorë

Nëse ekuacioni është në formën a-b, zbërthejeni atë në (a + b) (a-b). Ekuacioni me dy ndryshore analizohet ndryshe nga ekuacioni themelor kuadratik. Çdo ekuacion a-b në të cilin a dhe b janë jo zero do të zbërthehet në (a + b) (a-b).
- Për shembull, ekuacioni 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Nëse ekuacioni është në formën a + 2ab + b, zbërthejeni atë në (a + b). Vini re se nëse trinomi është në formën a-2ab + b, forma e faktorizimit do të ndryshojë pak: (a-b).
- Ekuacionet 4x + 8xy + 4y mund të rishkruhen si 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Tani ne shohim që është në formën e duhur dhe mund të themi me besim se forma e faktorizimit të këtij ekuacioni është (2x + 2y).
Nëse ekuacioni është në formën a-b, zbërthejeni atë në (a-b) (a + ab + b). Përfundimisht, duhet thënë se ekuacionet treshe dhe ekuacionet edhe të rendit më të lartë mund të faktorizohen. Sidoqoftë, procesi i analizës shpejt do të bëhet tepër kompleks.
- Për shembull, 8x - 27y zbërthehet në (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
reklamë

Këshilla

a-b mund të faktorizohet, dhe a + b jo.
Mbani në mend se si të faktorizoni konstante - mund të jetë e dobishme.
Kushtojini vëmendje fraksioneve në procesin e faktorizimit, trajtoni ato si duhet dhe në mënyrë të përshtatshme.
Me tridentin x + bx + (b / 2), faktorizimi i tij do të ishte (x + (b / 2)) (mund të hasni në këtë situatë gjatë plotësimit të katrorit).
Mos harroni se a0 = 0 (prona shumëzuar me zero).