Përmbajtje

• Hapa
• Pjesa 1 nga 3: Faktorizimi i binomave
• Pjesa 2 nga 3: Faktorizimi i binomave për zgjidhjen e ekuacioneve
• Pjesa 3 nga 3: Zgjidhja e problemeve komplekse
• Këshilla
• Paralajmërimet

Një binom (binomial) është një shprehje matematikore me dy terma midis të cilave ka një shenjë plus ose minus, për shembull, ${ displaystyle ax + b}$... Anëtari i parë përfshin ndryshoren, dhe i dyti e përfshin ose nuk e përfshin atë. Faktorizimi i një binomi përfshin gjetjen e termave që, kur shumëzohen, prodhojnë binomin origjinal për ta zgjidhur ose thjeshtuar atë.

Hapa

Pjesa 1 nga 3: Faktorizimi i binomave

1. 1 Kuptoni bazat e procesit të faktorizimit. Kur faktorizohet një binom, faktori që është pjesëtues i secilit term të binomit origjinal nxirret nga kllapa. Për shembull, numri 6 ndahet plotësisht me 1, 2, 3, 6. Kështu, pjesëtuesit e numrit 6 janë numrat 1, 2, 3, 6.
   • Pjestuesit 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Pjestuesit e çdo numri janë 1 dhe vetë numri. Për shembull, pjesëtuesit e 3 janë 1 dhe 3.
   • Pjestuesit e plotë mund të jenë vetëm numra të plotë. Numri 32 mund të ndahet me 3.564 ose 21.4952, por ju nuk merrni një numër të plotë, por një thyesë dhjetore.
2. 2 Renditni kushtet e binomit për të lehtësuar procesin e faktorizimit. Një binom është shuma ose ndryshimi i dy termave, të paktën njëri prej të cilëve përmban një ndryshore. Ndonjëherë variablat ngrihen në një fuqi, për shembull, ${ displaystyle x ^ {2}}$ ose ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Bettershtë më mirë të renditësh kushtet e binomit në rendin rritës të eksponentëve, domethënë, termi me eksponentin më të vogël shkruhet i pari, dhe me më të madhin - i fundit. Për shembull:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ stili i ekranit 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Vëreni shenjën minus para 2. Nëse një term zbritet, shkruani një shenjë minus para tij.
3. 3 Gjeni ndarësin më të madh të përbashkët (GCD) të të dy termave. GCD është numri më i madh me të cilin të dy anëtarët e binomit janë të ndashëm. Për ta bërë këtë, gjeni pjesëtuesit e secilit term në binom, dhe pastaj zgjidhni pjestuesin më të madh të përbashkët. Për shembull:
   • Një detyrë:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Pjestuesit 3: 1, 3
     • Pjestuesit 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Ndani secilin term në binom me Pjestuesin më të madh të përbashkët (GCD). Bëni këtë për të faktuar GCD. Vini re se secili anëtar i binomit zvogëlohet (sepse është i ndashëm), por nëse GCD përjashtohet nga kllapa, shprehja përfundimtare do të jetë e barabartë me atë origjinale.
   • Një detyrë:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Gjeni GCD: 3
   • Ndani çdo term binom me gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Zhvendoseni pjestuesin jashtë kllapave. Më parë, ju i ndani të dy termat e binomit me pjesëtuesin 3 dhe morët ${ displaystyle t + 2}$... Por nuk mund të heqësh qafe 3 - në mënyrë që vlerat e shprehjeve fillestare dhe përfundimtare të jenë të barabarta, duhet të vendosësh 3 jashtë kllapave dhe të shkruash shprehjen e marrë si rezultat i ndarjes në kllapa. Për shembull:
   • Një detyrë:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Gjeni GCD: 3
   • Ndani çdo term binom me gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Shumëzoni pjesëtuesin me shprehjen që rezulton:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Pergjigje: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Kontrolloni përgjigjen tuaj. Për ta bërë këtë, shumëzoni termin para kllapave me secilin term brenda kllapave. Nëse merrni binomin origjinal, zgjidhja është e saktë. Tani zgjidh problemin ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Urdhëroni anëtarët:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Gjeni GCD:${ displaystyle 6}$
   • Ndani çdo term binom me gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Shumëzoni pjesëtuesin me shprehjen që rezulton:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Kontrolloni përgjigjen:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Pjesa 2 nga 3: Faktorizimi i binomave për zgjidhjen e ekuacioneve

1. 1 Faktoroni binomin për ta thjeshtuar atë dhe për të zgjidhur ekuacionin. Në shikim të parë, duket e pamundur të zgjidhen disa ekuacione (veçanërisht me binome komplekse). Për shembull, zgjidh ekuacionin ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Ka fuqi në këtë ekuacion, prandaj faktorizoni së pari shprehjen.
   • Një detyrë:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Mos harroni se një binom ka dy anëtarë. Nëse shprehja përfshin më shumë terma, mësoni si të zgjidhni polinomet.
2. 2 Shtoni ose zbritni një monom në të dy anët e ekuacionit në mënyrë që zero të mbetet në njërën anë të ekuacionit. Në rastin e faktorizimit, zgjidhja e ekuacioneve bazohet në faktin e pandryshueshëm se çdo shprehje e shumëzuar me zero është e barabartë me zero. Prandaj, nëse barazojmë ekuacionin me zero, atëherë secili prej faktorëve të tij duhet të jetë i barabartë me zero. Vendosni njërën anë të ekuacionit në 0.
   • Një detyrë:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Vendoseni në zero:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktorizoni koshin që rezulton. Bëni këtë siç përshkruhet në pjesën e mëparshme. Gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCD), ndani të dy termat e binomit me të dhe më pas zhvendoseni faktorin jashtë kllapave.
   • Një detyrë:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Vendoseni në zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktori:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Vendosni secilin faktor në zero. Në shprehjen që rezulton, 2y shumëzohet me 4 - y, dhe ky produkt është i barabartë me zero. Meqenëse çdo shprehje (ose term) e shumëzuar me zero është zero, atëherë 2y ose 4 - y është 0. Vendosni monomin dhe binomin që rezulton në zero për të gjetur "y".
   • Një detyrë:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Vendoseni në zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktori:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Vendosni të dy faktorët në 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Zgjidhni ekuacionet që rezultojnë për të gjetur përgjigjen (ose përgjigjet) përfundimtare. Meqenëse secili faktor barazohet me zero, ekuacioni mund të ketë zgjidhje të shumta. Në shembullin tonë:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Kontrolloni përgjigjen tuaj. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat e gjetura në ekuacionin origjinal. Nëse barazia është e vërtetë, atëherë vendimi është i saktë. Zëvendësoni vlerat e gjetura në vend të "y". Në shembullin tonë, y = 0 dhe y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Ky është vendimi i duhur
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Dhe ky është vendimi i duhur

Pjesa 3 nga 3: Zgjidhja e problemeve komplekse

1. 1 Mos harroni se një term me një ndryshore gjithashtu mund të faktorizohet, edhe nëse ndryshorja ngrihet në një fuqi. Kur faktorizoni, duhet të gjeni një monom që ndan secilin anëtar të binomit në mënyrë integrale. Për shembull, monomiali ${ displaystyle x ^ {4}}$ mund të faktorizohen ${ displaystyle x * x * x * x}$... Kjo do të thotë, nëse termi i dytë i binomit përmban gjithashtu ndryshoren "x", atëherë "x" mund të hiqet nga kllapat. Kështu, trajtoni ndryshoret si numra të plotë. Për shembull:
   • Të dy anëtarët e binomit ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ përmbajnë "t", kështu që "t" mund të nxirret nga kllapa: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Gjithashtu, një ndryshore e ngritur në një fuqi mund të hiqet nga kllapa. Për shembull, të dy anëtarët e binomit ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ përmbajnë ${ displaystyle x ^ {2}}$, kështu që ${ displaystyle x ^ {2}}$ mund të nxirret nga kllapa: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Shtoni ose zbritni terma të ngjashëm për të marrë një binom. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Në shikim të parë, ky është një polinom, por në fakt, kjo shprehje mund të shndërrohet në një binom. Shtoni terma të ngjashëm: 6 dhe 14 (nuk përmbajnë një ndryshore), dhe 2x dhe 3x (përmbajnë të njëjtën ndryshore "x"). Në këtë rast, procesi i faktorizimit do të thjeshtohet:
   • Shprehja origjinale:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Urdhëroni anëtarët:${ stili i ekranit 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Shtoni terma të ngjashëm:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Gjeni GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktori:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktorizoni ndryshimin e katrorëve të përsosur. Një katror i përsosur është një numër rrënja katrore e të cilit është një numër i plotë, për shembull ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ madje edhe ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Nëse binomi është ndryshimi i katrorëve të përsosur, për shembull, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, atëherë faktorizohet nga formula:
   • Dallimi i formulës së katrorëve:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Një detyrë:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Nxirrni rrënjët katrore:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Zëvendësoni vlerat e gjetura në formulë: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktorizoni ndryshimin midis kubeve të plota. Nëse binomi është ndryshimi i kubeve të plotë, për shembull, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, atëherë faktorizohet duke përdorur një formulë të veçantë. Në këtë rast, është e nevojshme të nxirret rrënja e kubit nga secili anëtar i binomit, dhe të zëvendësohen vlerat e gjetura në formulë.
   • Formula për ndryshimin midis kubeve:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Një detyrë:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Nxjerrni rrënjë kubike:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zëvendësoni vlerat e gjetura në formulë: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktorizoni shumën e kubeve të plota. Ndryshe nga shuma e katrorëve të përsosur, shuma e kubeve të plotë, për shembull, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, mund të faktorizohet duke përdorur një formulë të veçantë. Shtë e ngjashme me formulën për ndryshimin midis kubeve, por shenjat janë të kundërta. Formula është mjaft e thjeshtë - për ta përdorur atë, gjeni shumën e kubeve të plota në problem.
   • Formula për shumën e kubeve:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Një detyrë:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Nxjerrni rrënjë kubike:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zëvendësoni vlerat e gjetura në formulë: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Këshilla

• Ndonjëherë anëtarët binomë nuk kanë një pjesëtues të përbashkët. Në disa detyra, anëtarët paraqiten në një formë të thjeshtuar.
• Nëse nuk mund ta gjeni GCD menjëherë, filloni duke e ndarë me numra të vegjël. Për shembull, nëse nuk shihni që GCD e numrave 32 dhe 16 është 16, ndani të dy numrat me 2. Ju merrni 16 dhe 8; këta numra mund të ndahen me 8. Tani ju merrni 2 dhe 1; këto numra nuk mund të zvogëlohen. Kështu, është e qartë se ekziston një numër më i madh (krahasuar me 8 dhe 2), i cili është pjesëtuesi i përbashkët i dy numrave të dhënë.
• Vini re se termat e rendit të gjashtë (me një eksponent 6, për shembull x) janë katrorë të përsosur dhe kube të përsosur. Kështu, për binomët me termat e rendit të gjashtë, për shembull, x - 64, mund të aplikoni (në çdo rend) formula për ndryshimin e katrorëve dhe ndryshimin e kubeve. Por është më mirë që së pari të zbatohet formula për ndryshimin e katrorëve në mënyrë që të dekompozohet më saktë me një binom.

Paralajmërimet

• Një binom, i cili është shuma e katrorëve të përsosur, nuk mund të faktorizohet.