Përmbajtje

• Hapa
• Metoda 1 nga 3: Si të zgjidhni një ekuacion kub pa një term konstant
• Metoda 2 nga 3: Si të gjeni rrënjë të tëra duke përdorur shumëzues
• Metoda 3 nga 3: Si të zgjidhni një ekuacion duke përdorur diskriminuesin

Në një ekuacion kub, eksponenti më i lartë është 3, një ekuacion i tillë ka 3 rrënjë (zgjidhje) dhe ka formën ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Disa ekuacione kubike nuk janë aq të lehta për t'u zgjidhur, por nëse aplikoni metodën e duhur (me një bazë të mirë teorike), mund të gjeni rrënjët edhe të ekuacionit kubik më kompleks - për këtë përdorni formulën për zgjidhjen e ekuacionit kuadratik, gjeni rrënjë të tëra, ose llogarit diskriminuesin.

Hapa

Metoda 1 nga 3: Si të zgjidhni një ekuacion kub pa një term konstant

1. 1 Zbuloni nëse ka një term të lirë në ekuacionin kub d{ displaystyle d}. Ekuacioni kub ka formën ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Që një ekuacion të konsiderohet kub, mjafton që vetëm termi ${ displaystyle x ^ {3}}$ (domethënë, mund të mos ketë fare anëtarë të tjerë).
   • Nëse ekuacioni ka një term të lirë ${ displaystyle d}$, përdorni një metodë tjetër.
   • Nëse në ekuacion ${ displaystyle a = 0}$, nuk është kub.
2. 2 Nxjerr nga kllapat x{ displaystyle x}. Meqenëse nuk ka term të lirë në ekuacion, secili term në ekuacion përfshin ndryshoren ${ displaystyle x}$... Kjo do të thotë se një ${ displaystyle x}$ mund të përjashtohen nga kllapat për të thjeshtuar ekuacionin. Kështu, ekuacioni do të shkruhet kështu: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Për shembull, duke pasur parasysh një ekuacion kub ${ stili i ekranit 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Nxirre jashtë ${ displaystyle x}$ kllapa dhe merrni ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktori (produkti i dy binomave) ekuacioni kuadratik (nëse është e mundur). Shumë ekuacione kuadratike të formës ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ mund të faktorizohen. Një ekuacion i tillë do të dalë nëse marrim ${ displaystyle x}$ jashtë kllapave. Në shembullin tonë:
   • Nxjerr nga kllapat ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktorizoni ekuacionin kuadratik: ${ stili i ekranit x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Barazoni secilën kosh me ${ displaystyle 0}$... Rrënjët e këtij ekuacioni janë ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur një formulë të veçantë. Bëni këtë nëse ekuacioni kuadratik nuk mund të faktorizohet. Për të gjetur dy rrënjë të një ekuacioni, vlerat e koeficientëve ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ zëvendësues në formulë ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Në shembullin tonë, zëvendësoni vlerat e koeficientëve ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) në formulën:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Rrënja e parë:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Rrënja e dytë:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Përdorni rrënjë zero dhe kuadratike si zgjidhje për ekuacionin kub. Ekuacionet kuadratike kanë dy rrënjë, ndërsa ato kubike kanë tre. Tashmë keni gjetur dy zgjidhje - këto janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Nëse vendosni "x" jashtë kllapave, zgjidhja e tretë do të ishte ${ displaystyle 0}$.
   • Nëse merrni "x" nga kllapat, merrni ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, pra dy faktorë: ${ displaystyle x}$ dhe një ekuacion kuadratik në kllapa. Nëse ndonjë nga këta faktorë është ${ displaystyle 0}$, i gjithë ekuacioni është gjithashtu i barabartë me ${ displaystyle 0}$.
   • Kështu, dy rrënjë të një ekuacioni kuadratik janë zgjidhjet e një ekuacioni kub. Zgjidhja e tretë është ${ displaystyle x = 0}$.

Metoda 2 nga 3: Si të gjeni rrënjë të tëra duke përdorur shumëzues

1. 1 Sigurohuni që ka një term të lirë në ekuacionin kub d{ displaystyle d}. Nëse në një ekuacion të formës ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ka një anëtar falas ${ displaystyle d}$ (e cila nuk është e barabartë me zero), nuk do të funksionojë për të vendosur "x" jashtë kllapave. Në këtë rast, përdorni metodën e përshkruar në këtë seksion.
   • Për shembull, duke pasur parasysh një ekuacion kub ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Për të marrë zero në anën e djathtë të ekuacionit, shtoni ${ displaystyle 6}$ në të dy anët e ekuacionit.
   • Ekuacioni do të dalë ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Si ${ displaystyle d = 6}$, metoda e përshkruar në pjesën e parë nuk mund të përdoret.
2. 2 Shkruani faktorët e koeficientit a{ displaystyle a} dhe një anëtar falas d{ displaystyle d}. Kjo është, gjeni faktorët e numrit në ${ displaystyle x ^ {3}}$ dhe numrat para shenjës së barabartë. Kujtojmë që faktorët e një numri janë numrat që, kur shumëzohen, prodhojnë atë numër.
   • Për shembull, për të marrë numrin 6, ju duhet të shumoheni ${ displaystyle 6 herë 1}$ dhe ${ displaystyle 2 herë 3}$... Pra numrat 1, 2, 3, 6 janë faktorë të numrit 6.
   • Në ekuacionin tonë ${ displaystyle a = 2}$ dhe ${ displaystyle d = 6}$... Shumëzuesit 2 janë 1 dhe 2... Shumëzuesit 6 janë numrat 1, 2, 3 dhe 6.
3. 3 Ndani secilin faktor a{ displaystyle a} për secilin faktor d{ displaystyle d}. Si rezultat, ju merrni shumë thyesa dhe disa numra të plotë; rrënjët e ekuacionit kub do të jenë një nga numrat e plotë ose vlera negative e njërit prej numrave të plotë.
   • Në shembullin tonë, ndani faktorët ${ displaystyle a}$ (1 dhe 2) sipas faktorëve ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 dhe 6) Ju do të merrni: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ dhe ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Tani shtoni vlera negative të thyesave dhe numrave të marrë në këtë listë: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ dhe ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Të gjithë rrënjët e ekuacionit kub janë disa numra nga kjo listë.
4. 4 Futni numra të plotë në ekuacionin kub. Nëse barazia është e vërtetë, numri i zëvendësuar është rrënja e ekuacionit. Për shembull, zëvendësoni në ekuacion ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, domethënë barazia nuk respektohet. Në këtë rast, futni numrin tjetër.
   • Zëvendësues ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Kështu, ${ displaystyle -1}$ është e gjithë rrënja e ekuacionit.
5. 5 Përdorni metodën e ndarjes së polinomeve me Skema e Hornerpër të gjetur më shpejt rrënjët e ekuacionit. Bëni këtë nëse nuk doni të zëvendësoni me dorë numrat në ekuacion. Në skemën e Horner, numrat e plotë ndahen me vlerat e koeficientëve të ekuacionit ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ dhe ${ displaystyle d}$... Nëse numrat ndahen në mënyrë të barabartë (domethënë, pjesa e mbetur është ${ displaystyle 0}$), një numër i plotë është rrënja e ekuacionit.
   • Skema e Horner meriton një artikull të veçantë, por më poshtë është një shembull i llogaritjes së një prej rrënjëve të ekuacionit tonë kub duke përdorur këtë skemë:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Pra, pjesa tjetër është ${ displaystyle 0}$, por ${ displaystyle -1}$ është një nga rrënjët e ekuacionit.

Metoda 3 nga 3: Si të zgjidhni një ekuacion duke përdorur diskriminuesin

1. 1 Shkruani vlerat e koeficientëve të ekuacionit a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} dhe d{ displaystyle d}. Ne ju rekomandojmë që të shkruani vlerat e koeficientëve të treguar paraprakisht në mënyrë që të mos ngatërroheni në të ardhmen.
   • Për shembull, duke pasur parasysh ekuacionin ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Shkruani ${ stili i ekranit a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ stili i ekranit c = 3}$ dhe ${ displaystyle d = -1}$... Kujtoni që nëse më parë ${ displaystyle x}$ nuk ka numër, koeficienti përkatës ende ekziston dhe është i barabartë me ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Llogaritni diskriminuesin zero duke përdorur një formulë të veçantë. Për të zgjidhur një ekuacion kub duke përdorur diskriminuesin, duhet të kryeni një numër llogaritjesh të vështira, por nëse i kryeni të gjitha hapat në mënyrë korrekte, kjo metodë do të bëhet e domosdoshme për zgjidhjen e ekuacioneve më komplekse kubike. Llogaritja e parë ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (zero diskriminuese) është vlera e parë që na nevojitet; për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat përkatëse në formulë ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminuesi është një numër që karakterizon rrënjët e një polinomi (për shembull, diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik llogaritet me formulën ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Në ekuacionin tonë:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Llogaritni diskriminuesin e parë duke përdorur formulën Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. I pari diskriminues ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - kjo është vlera e dytë e rëndësishme; për ta llogaritur atë, futni vlerat përkatëse në formulën e specifikuar.
   • Në ekuacionin tonë:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Llogarit:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Kjo do të thotë, gjeni diskriminuesin e ekuacionit kub përmes vlerave të marra ${ displaystyle Delta _ {0}}$ dhe ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Nëse diskriminuesi i një ekuacioni kub është pozitiv, ekuacioni ka tre rrënjë; nëse diskriminuesi është zero, ekuacioni ka një ose dy rrënjë; nëse diskriminuesi është negativ, ekuacioni ka një rrënjë.
   • Një ekuacion kub ka gjithmonë të paktën një rrënjë, pasi grafiku i këtij ekuacioni kryqëzon boshtin X të paktën në një pikë.
   • Në ekuacionin tonë ${ displaystyle Delta _ {0}}$ dhe ${ displaystyle Delta _ {1}}$ janë të barabarta ${ displaystyle 0}$, kështu që lehtë mund të llogarisni ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Kështu, ekuacioni ynë ka një ose dy rrënjë.

5. 5 Llogarit:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { majtas ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } djathtas) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - kjo është sasia e fundit e rëndësishme që gjendet; do t'ju ndihmojë të llogaritni rrënjët e ekuacionit. Zëvendësoni vlerat në formulën e specifikuar ${ displaystyle Delta _ {1}}$ dhe ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Në ekuacionin tonë:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Gjeni tre rrënjë të ekuacionit. Bëni atë me formulën ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, ku ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, por n është e barabartë me 1, 2 ose 3... Zëvendësoni vlerat e duhura në këtë formulë - si rezultat, do të merrni tre rrënjë të ekuacionit.
   • Llogaritni vlerën duke përdorur formulën në n = 1, 2 ose 3dhe pastaj kontrolloni përgjigjen. Nëse merrni 0 kur kontrolloni përgjigjen tuaj, kjo vlerë është rrënja e ekuacionit.
   • Në shembullin tonë, zëvendësues 1 në ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ dhe merrni 0, dmth 1 është një nga rrënjët e ekuacionit.