Përmbajtje

• Të shkelësh
• Pjesa 1 nga 3: Bazat e analizës
• Pjesa 2 nga 3: Kuptoni derivatet
• Pjesa 3 nga 3: Kuptoni integralët
• Këshilla

Analiza (e quajtur ndryshe edhe llogaritja) është një degë e matematikës e përqendruar në kufij, funksione, derivate, integrale dhe seri të pafund. Kjo lëndë përfshin një pjesë të madhe të matematikës dhe qëndron në themel të shumë formulave dhe ekuacioneve të përdorura në fizikë dhe mekanikë. Ju me siguri do të duhet të keni pasur disa vjet matematikë në shkollën e mesme për të kuptuar si duhet analizën, por ky artikull do t'ju fillojë të mësoni të njihni konceptet kryesore, si dhe një kuptim më të mirë të teorisë.

Të shkelësh

Pjesa 1 nga 3: Bazat e analizës

1. Analiza është studimi se si ndryshojnë gjërat. Analiza është një degë e matematikës që ekzaminon numrat dhe grafikët, zakonisht të marrë nga të dhënat e botës reale, dhe shpjegon se si ato ndryshojnë. Ndërsa kjo mund të mos duket shumë e dobishme në fillim, analiza është një nga degët më të përdorura të matematikës. Imagjinoni të keni mjete për t'ju treguar sa shpejt po rritet biznesi juaj në çdo kohë të caktuar, ose si të përshkruani rrjedhën e një anijeje kozmike dhe sa shpejt po konsumohet karburanti i tij. Analiza është një mjet i rëndësishëm në inxhinieri, ekonomi, statistikë, kimi dhe fizikë, dhe ka kontribuar në shumë shpikje dhe zbulime.
2. Funksionet janë marrëdhënie midis dy numrave dhe përdoren për hartëzimin e marrëdhënieve. Ato janë rregulla për marrëdhëniet midis numrave dhe matematikanët i përdorin ato për të bërë grafikë. Në një funksion, secili input ka saktësisht një rezultat. Për shembull: në ${ stili i shfaqjes y = 2x + 4,}$Mendoni për konceptin e pafundësisë. Pafundësia është përsëritja e vazhdueshme e një procesi. Nuk është një vend specifik (nuk mund të shkoni në pafundësi), por më tepër sjellja e një numri ose ekuacioni, nëse bëhet përgjithmonë. Kjo është e rëndësishme për të studiuar ndryshimin: ju mund të dëshironi të dini se sa shpejt lëviz makina juaj në çdo kohë të caktuar, por a është kjo sa shpejt po lëviz makina juaj gjatë sekondës aktuale? Milisekonda? Nanosekondi? Ju mund të gjeni copa pafundësisht më të vogla të kohës për të qenë edhe më të saktë, dhe atëherë kur fillon analiza.
3. Kuptoni konceptin e kufijve. Një kufi ju tregon se çfarë ndodh kur diçka i afrohet pafundësisë. Merrni numrin 1 dhe ndajeni me 2. Vazhdoni të ndani me 2 pa pushim. 1 bëhet 1/2 dhe më pas 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etj. Çdo herë që numri bëhet gjithnjë e më i vogël, "afër" zero. Por ku ndalet? Sa herë duhet të ndani 1 me 2 për të marrë zero? Në vend që t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje, në analizë vendosni një kufiri Në këtë rast, kufiri është.
   • Kufijtë janë më të lehtat për tu vizualizuar në një grafik - për shembull, a ka pika që një graf prek pothuajse, por kurrë jo mjaft?
   • Kufijtë mund të jenë numër, të pafund ose madje edhe të paqenë. Për shembull, me sekuencën e mbledhjes 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... dhe kjo vazhdon për një kohë të pacaktuar, numri përfundimtar bëhet pafundësisht i madh. Atëherë kufiri bëhet i pafund.
4. Rishikoni konceptet thelbësore të matematikës të algjebrës, trigonometrisë dhe bazave të matematikës. Analiza mbështetet në pjesën më të madhe të matematikës që keni mësuar më parë. Të qenit i informuar mirë për të gjitha temat e bën shumë më të lehtë për të mësuar dhe kuptuar analizën. Disa tema për tu pastruar janë:
   • Algjebra. Ju duhet të kuptoni proceset e ndryshme dhe të jeni në gjendje të zgjidhni ekuacionet dhe sistemet e ekuacioneve me shumë ndryshore. Kuptoni bazat e koleksioneve. Praktikoni krijimin e grafikëve.
   • Gjeometria. Gjeometria është studimi i formave. Ju duhet të keni njohuri themelore të trekëndëshave, drejtkëndëshave dhe rrathëve, dhe si të llogaritni gjëra të tilla si perimetri dhe sipërfaqja. Kuptoni këndet, linjat dhe koordinatat
   • Trigonometria. Trigonometria është dega e matematikës që merret me vetitë e rrathëve dhe trekëndëshat kënddrejtë. Di të përdorë identitetet trigonometrike, grafikët, funksionet dhe funksionet e anasjellta trigonometrike.
5. Bleni një kalkulator grafiku. Analiza nuk është e lehtë për t’u kuptuar pa parë se çfarë po bëni. Llogaritësit e grafikëve i bëjnë funksionet vizuale në mënyrë që të kuptoni më mirë me çfarë ekuacionesh keni të bëni. Shpesh kufijtë shfaqen gjithashtu në ekran dhe derivatet dhe funksionet llogariten automatikisht.
   • Shumë telefona inteligjentë dhe tableta sot ofrojnë aplikacione të lira, por efektive të grafikimit nëse nuk doni ose nuk mund të blini një llogaritës grafiku.

Pjesa 2 nga 3: Kuptoni derivatet

1. Analiza përdoret për të studiuar "ndryshimin në një moment specifik". Të dish pse diçka ndryshon në një moment të saktë është thelbi i analizës. Për shembull, analiza ju jep jo vetëm shpejtësinë e një makine, por edhe sa ndryshon ajo shpejtësi në çdo kohë të caktuar. Ky është një nga përdorimet më të thjeshta të analizës, por shumë i rëndësishëm. Imagjinoni sa i rëndësishëm është një informacion i tillë në përcaktimin e shpejtësisë që duhet për të arritur një anije kozmike në hënë!
   • Përcaktimi i ndryshimit në një moment të veçantë në kohë ka diferencoj. Diferencimi është e para nga dy degët kryesore të analizës.
2. Përdorni derivatet për të kuptuar se si ndryshojnë gjërat në një kohë të caktuar. Një "derivat" është një fjalë e bukur për diçka që shpesh i bën studentët nervozë. Sidoqoftë, vetë koncepti nuk është aq i vështirë për tu kuptuar - kjo thjesht do të thotë "sa shpejt ndryshon diçka". Derivatet që do të hasni më shumë në jetën e përditshme kanë të bëjnë me shpejtësinë. Sidoqoftë, zakonisht nuk e quani atë "derivat i shpejtësisë", por thjesht "nxitim".
   • Përshpejtimi është një derivat - ai ju tregon se sa shpejt diçka po përshpejton ose ngadalësohet, ose sesi shpejtësia e saj po ndryshon.
3. Dije që shkalla e ndryshimit është e barabartë me pjerrësinë midis dy pikave. Ky është një nga zbulimet më të rëndësishme të analizës. Shkalla e ndryshimit midis dy pikave është e barabartë me pjerrësinë e vijës midis atyre dy pikave. Thjesht mendoni për një vijë të thjeshtë, siç është ajo e ekuacionit ${ stili i shfaqjes y = 3x.}$Dije që mund të përcaktosh pjerrësinë e vijave të lakuara. Përcaktimi i pjerrësisë së një vije të drejtë është relativisht i lehtë: sa ndryshime ${ stili i shfaqjes y}$Nëse dëshironi të llogaritni ndryshimin më saktë, sigurohuni që pikat të jenë më afër njëra-tjetrës. Sa më afër të zgjidhni dy pikat, aq më e saktë është përgjigjja juaj. Supozoni se doni të dini se sa shpejton makina juaj kur shtypni gazin. Ju nuk doni të matni ndryshimin e shpejtësisë midis shtëpisë tuaj dhe supermarketit, por ndryshimin e shpejtësisë nga momenti që goditni gazin. Sa më shumë që leximi juaj i afrohet asaj pjese të sekondës, aq më e saktë është llogaritja juaj e ndryshimit.
   • Për shembull, shkencëtarët po hetojnë sa shpejt zhduken disa specie në mënyrë që t'i shpëtojnë ato. Sidoqoftë, më shumë kafshë vdesin në dimër sesa në verë, kështu që nuk është e dobishme të studiohet shkalla e ndryshimit gjatë gjithë vitit - është më mirë të përcaktohet shkalla e ndryshimit brenda një periudhe më të vogël, siç është nga 1 korriku deri në 1 gusht.
4. Përdorni linja pafundësisht të shkurtra për të përcaktuar "shkallën e menjëhershme të ndryshimit", ose për të gjetur derivatin. Kjo është ajo ku analiza shpesh bëhet paksa konfuze, por kjo në fakt është rezultat i dy fakteve të thjeshta. Para së gjithash, ju e dini që pjerrësia e një linje është e barabartë me sa shpejt ndryshon ajo vijë. Së dyti, ju e dini që sa më afër që të jenë pikat e vijës me njëra-tjetrën, aq më i saktë do të bëhet leximi. Por si e gjeni shkallën e ndryshimit në një pikë të caktuar nëse pjerrësia është marrëdhënia midis dy pikave? Përgjigja: Ju zgjidhni dy pika që janë pafundësisht afër njëra-tjetrës.
   • Merrni parasysh shembullin ku ju vazhdoni të ndani 1 me 2, duke marrë kështu 1/2, 1/4, 1/8, etj. Kështu që në fund i afroheni zeros, dhe përgjigjja është "pothuajse zero". Pikat janë aq afër njëra-tjetrës saqë janë "pothuajse të barabarta me njëra-tjetrën". Kjo është natyra e derivateve.
5. Mësoni si të përcaktoni derivate të ndryshme. Ekzistojnë një mori teknikash të ndryshme për gjetjen e një derivati ​​në varësi të ekuacionit, por shumica e tyre kanë kuptim nëse keni mësuar përmendësh bazat e derivateve më lart. Të gjithë derivatet janë një mënyrë për të gjetur pjerrësinë e një linje "infinitesimal". Tani që dini më shumë rreth teorisë së derivateve, shumica e punës është në gjetjen e përgjigjeve.
6. Gjeni ekuacionet e nxjerra për të parashikuar shkallën e ndryshimit në çdo kohë. Usefulshtë e dobishme të përdorni derivatet për të përcaktuar shkallën e ndryshimit në çdo kohë të dhënë, por bukuria e analizës është se ju mund të krijoni një model të ri për çdo funksion. Derivati ​​i ${ stili i shfaqjes y = x ^ {2},}$Nëse e keni të vështirë për t’u kuptuar, përpiquni të mbani mend shembuj të derivateve në jetën reale. Shembulli më i thjeshtë bazohet në shpejtësinë, e cila përfshin shumë derivate të ndryshme që hasim çdo ditë. Mos harro: një derivat është një masë se sa shpejt ndryshon diçka. Mendoni për një eksperiment të thjeshtë. Ju rrokullisni një mermer në një tavolinë dhe matni sa larg lëviz dhe sa shpejt çdo herë. Tani imagjinoni që mermeri i rrokullisur ndjek një vijë në një grafik - ju jeni duke përdorur derivate për të matur ndryshimet e menjëhershme në çdo kohë në atë vijë.
   • Sa shpejt lëviz mermeri? Me çfarë shpejtësie ndryshon pozicioni (ose derivati) i mermerit në lëvizje? Ne e quajmë këtë derivat "shpejtësi".
   • Rrotulloni mermerin përgjatë një pjerrësi dhe vëzhgoni se si ndryshon shpejtësia. Cila është shkalla e ndryshimit, ose derivatit, të shpejtësisë së mermerit? Ky derivat është ai që ne e quajmë "përshpejtim".
   • Rrokullisni mermerin përgjatë një piste të valëzuar, siç është një slitë rul. Deri në çfarë mase mermeri fiton shpejtësi kur rrotullohet poshtë, dhe në ç'masë mermeri ngadalësohet përpjetë? Sa shpejt shkon mermeri saktësisht kur është në gjysmë të rrugës nga kodra e parë? Ky është shkalla e menjëhershme e ndryshimit, ose derivati, i atij mermeri në atë pikë specifike.

Pjesa 3 nga 3: Kuptoni integralët

1. Dije që mund të përdorësh analiza për të gjetur zona dhe vëllime komplekse. Me analizë mund të matni forma komplekse që përndryshe janë të vështira për t'u matur. Merrni parasysh, për shembull, problemin që dëshironi të dini se sa ujë përmban një liqen i gjatë, me formë të parregullt - është e pamundur të matni çdo litër ujë veçmas ose të përdorni një vizore për të matur formën e liqenit. Me analiza mund të studioni se si skajet e liqenit po ndryshojnë dhe më pas ta përdorni atë informacion për të zbuluar se sa ujë përmban.
   • Bërja e modeleve gjeometrike dhe studimi i vëllimeve integrohem. Llogaritja e integruar është dega e dytë e rëndësishme e analizës.
2. Dije që integrimi është zona poshtë një grafiku. Integrimi përdoret për të matur hapësirën poshtë një linje, e cila ju lejon të përcaktoni zonën e formave të çuditshme ose të parregullta. Merrni ekuacionin ${ stili i shfaqjes y = 4-x ^ {2},}$Dije që duhet të zgjedhësh një zonë për t'u integruar. Ju nuk mund të integroni thjesht një funksion të tërë. Për shembull, ${ stili i shfaqjes y = x}$Mendoni se si të llogarisni sipërfaqen e një drejtkëndëshi. Supozoni se keni një vijë të sheshtë mbi një grafik, si p.sh. ${ stili i shfaqjes y = 4.}$Dije që në llogarinë integrale shumë drejtkëndësha të vegjël shtohen së bashku për të gjetur sipërfaqen e një zone. Kur zmadhoni jashtëzakonisht një kurbë, duket se është një vijë e drejtë. Ju e shihni këtë çdo ditë - nuk mund ta perceptoni lakimin e tokës sepse jeni kaq afër sipërfaqes së tokës. Integrimi krijon një numër të pafund të drejtkëndëshave të vegjël nën një kurbë që janë aq të vogla saqë janë në thelb të sheshta, duke ju lejuar t'i numëroni ato. Të gjithë këta drejtkëndëshe të mbledhura së bashku formojnë zonën e zonës nën një kurbë.
   • Supozoni se shtoni shumë segmente të vogla poshtë grafikut, dhe kjo është gjerësia e secilit segment pothuajse është zero.
3. Di të lexojë dhe shkruajë integralët në mënyrë korrekte. Integralët përbëhen nga 4 pjesë. Një integral tipik duket si ky:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Mësoni më shumë rreth gjetjes së integralëve. Integrimi vjen në shumë forma, dhe ju duhet të mësoni shumë formula të ndryshme për të integruar secilin funksion. Sidoqoftë, të gjithë ndjekin parimet e përshkruara më sipër: integrimi është shuma e një numri të pafund të gjërave.
   • Integrohuni duke zëvendësuar.
   • Llogarit integralët e pacaktuar.
   • Integrohuni duke ndarë.
4. Dije që integrimi është e kundërta e diferencimit dhe anasjelltas. Ky është një rregull i përgjithshëm i analizës që është aq i rëndësishëm sa që i është dhënë emri i vet: Teorema kryesore e llogaritjes integrale.Meqenëse integrimi dhe diferencimi janë kaq të lidhur ngushtë, një kombinim i të dyjave mund të përdoret për të përcaktuar shkallën e ndryshimit, përshpejtimin, shpejtësinë, vendndodhjen, lëvizjen, etj, pavarësisht se çfarë informacioni keni.
   • Për shembull, mos harroni se derivati ​​i shpejtësisë është nxitimi, kështu që mund të përdorni shpejtësinë për të gjetur nxitimin. Por nëse dini vetëm përshpejtimin e diçkaje (siç janë objektet që bien për shkak të gravitetit), atëherë mund të integroheni për të rifituar shpejtësinë!
5. Dije që me integrimin mund të kontrollosh edhe vëllimin e objekteve 3D. Rrotullimi i një forme të sheshtë është një mënyrë për të krijuar solide 3D. Imagjinoni një monedhë që rrotullohet në tryezë - vini re se si monedha duket se merr formën e një sfere ndërsa rrotullohet. Ky koncept ju lejon të përcaktoni vëllimin sipas një procesi të njohur si "vëllimi me rotacion".
   • Kjo ju lejon të përcaktoni vëllimin e çdo lënde të ngurtë, për sa kohë që keni një funksion që e përfaqëson atë. Për shembull, mund të krijoni një funksion që ndjek fundin e një liqeni dhe më pas ta përdorni atë për të përcaktuar vëllimin e liqenit, ose sa ujë përmban ai.

Këshilla

• Praktika është e përsosur, kështu që bëni edhe ushtrimet praktike në librin tuaj - edhe ato që mësuesi juaj nuk i ka dhënë - dhe kontrolloni përgjigjet tuaja për t'ju ndihmuar të kuptoni më mirë konceptet.
• Nëse nuk mund të gjeni një zgjidhje, pyesni mësuesin tuaj.