Përmbajtje

• Hapat
• Këshilla

Nëse jeni një matematikan ose një programues grafik, ndoshta do të duhet të gjeni këndin midis dy vektorëve të dhënë. Në këtë artikull, wikiHow ju tregon se si ta bëni këtë.

Hapat

Pjesa 1 nga 2: Gjeni këndin midis dy vektorëve

1. 

   Përkufizimi i vektorit. Shkruani të gjitha informacionet në lidhje me dy vektorët që keni. Supozoni se keni vetëm parametrat e specifikuar të koordinatave të tyre dimensionale (të quajtura edhe përbërës). Nëse e dini tashmë gjatësinë (madhësinë) e një vektori, mund të kaloni disa nga hapat më poshtë.
   • Shembull: Vektor dydimensional = (2,2) dhe vektor dydimensional = (0,3). Ato gjithashtu mund të shkruhen si = 2unë + 2j dhe = 0unë + 3j = 3j.
   • Megjithëse vektorët dy-dimensionorë përdoren në shembullin në këtë artikull, udhëzimet e mëposhtme mund të zbatohen për vektorët me çfarëdo numri të dimensioneve.

2. 

   
   
   Shkruani formulën e kosinusit. Për të gjetur këndin θ midis dy vektorëve, fillojmë me formulën për gjetjen e kosinusit për atë kënd. Mund të mësoni më poshtë për këtë formulë, ose thjesht shkruajeni kështu:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| do të thotë "gjatësia e vektorit".
   • • është produkti skalar i dy vektorëve - kjo do të shpjegohet më poshtë.

3. 

   
   
   Llogaritni gjatësinë e secilit vektor. Imagjinoni që një trekëndësh kënddrejtë përbëhet nga përbërësit x, y të vektorit dhe vetë vektori. Vektori formon hipotenuzën e trekëndëshit, kështu që për të gjetur gjatësinë e tij përdorim teoremën e Pitagorës. Në fakt, kjo formulë mund të shtrihet lehtësisht në një vektor të çfarëdo numri të dimensioneve.
   • || u || = u₁ + u₂. Nëse një vektor ka më shumë se dy elemente, thjesht duhet të vazhdoni të shtoni + u₃ + u₄ +...
   • Prandaj, për një vektor dy-dimensional, || u || = (U₁ + u₂).
   • Në këtë shembull, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Llogaritni prodhimin skalar të dy vektorëve. Ndoshta e keni mësuar metodën e shumëzimit të vektorit, e njohur gjithashtu si skalar kjo Për të llogaritur produktin skalar në lidhje me përbërjen e tyre, shumëzoni përbërësit në secilin drejtim së bashku, pastaj shtoni të gjithë rezultatin.
   • Për programin grafik, ju lutemi referojuni Këshillave para se të lexoni më tej.
   • Në matematikë • = u₁v₁ + u₂v₂, ku, u = (u₁, u₂) Nëse vektori ka më shumë se dy elemente, thjesht shtoni + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Në këtë shembull, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ky është produkti skalar i vektorit dhe vektorit.

5. 

   Vendosni rezultatet në formulë. Mos harroni se cosθ = (•) / (|||| || ||). Tani ne e dimë si produktin skalar, ashtu edhe gjatësinë e secilit vektor. Vendosni këto në formulë për të llogaritur kosinusin e këndit.
   • Në shembullin tonë, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = 2/2.

6. 

   Gjeni këndin bazuar në kosinusin e saj. Ju mund të përdorni funksionin arcos ose cos në një kalkulator për të gjetur θ nga një vlerë e njohur cos. Me disa rezultate, ju mund të gjeni këndin bazuar në rrethin e njësisë.
   • Në shembull, cosθ = √2 / 2. Vendosni "arccos (√2 ​​/ 2)" në llogaritësin tuaj për të gjetur këndin. Ose, mund ta gjeni këndin θ në rrethin e njësisë, në pozicionin cosθ = √2 / 2. trueshtë e vërtetë për θ = /₄ ose 45º.
   • Kombinimi i gjithçkaje, formula përfundimtare është: këndi θ = arkozina ((•) / (|||| || ||))
   reklamë

Pjesa 2 nga 2: Përcaktimi i formulës së këndit

1. 

   Kuptoni qëllimin e formulës. Kjo formulë nuk rrjedh nga rregullat ekzistuese. Në vend të kësaj, ai formohet si përkufizimi i produktit skalar dhe këndi midis dy vektorëve. Edhe kështu, nuk ishte një vendim arbitrar. Duke iu kthyer gjeometrisë themelore, ne mund të kuptojmë pse kjo formulë ofron përkufizime intuitive dhe të dobishme.
   • Shembujt më poshtë përdorin vektorë dy-dimensionalë sepse janë më të lehta për t’u kuptuar dhe më të thjeshtë. Vektorët tre-dimensionalë ose më shumë kanë veti të përcaktuara nga formula të përgjithshme pothuajse të ngjashme.

2. 

   Rishikoni teoremën e kosinusit. Konsideroni një trekëndësh të zakonshëm me kënd θ midis brinjëve a dhe b, brinjën e kundërt c. Teorema e kosinusit shprehet se c = a + b -2abkoz(θ) Ky rezultat është tërhequr mjaft thjesht nga gjeometria themelore.

3. 

   Lidhni dy vektorë, duke formuar një trekëndësh. Vizatoni një palë vektorësh dy-dimensionale në letër, vektorë dhe vektorë, me θ që është këndi ndërmjet tyre. Vizatoni një vektor të tretë midis këtyre të dyve për të krijuar një trekëndësh. Me fjalë të tjera, vizatoni një vektor të tillë që + =. Vektor = -.

4. 

   Shkruaj teoremën e kosinusit për këtë trekëndësh. Zëvendësoni gjatësinë anësore të "trekëndëshit tonë vektorial" në teoremën e kosinusit:
   • || (a - b) || = || një || + || b || - 2 || a || || b ||koz(θ)

5. 

   Rishkruaj me produkt skalar. Mos harroni, një produkt skalar është imazhi i një vektori në tjetrin. Produkti skalar i një vektori me vete nuk kërkon projeksion, sepse këtu, nuk ka asnjë ndryshim në drejtim. Kjo do të thotë • = || një ||. Duke përdorur këtë, ne rishkruajmë ekuacionin:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||koz(θ)

6. 

   Rishkroi me sukses të njëjtën formulë. Zgjero anën e majtë të formulës, pastaj thjeshto për të marrë formulën e përdorur për të gjetur kënde.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||koz(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||koz(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||koz(θ)
   • • = || a || || b ||koz(θ)
   reklamë

Këshilla

• Për të ndryshuar vlerat dhe për të zgjidhur problemin shpejt, përdorni këtë formulë për çdo palë vektorësh dy-dimensionale: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Nëse jeni duke punuar me softuer grafik kompjuterik, ka shumë të ngjarë që të kujdeseni për dimensionin e vektorëve pa u shqetësuar për gjatësinë e tyre. Përdorni hapat e mëposhtëm për të shkurtuar një ekuacion dhe për të shpejtuar programin tuaj:
  • Normalizoni secilin vektor në mënyrë që të jenë të barabartë me 1. Për ta bërë këtë, ndani secilin nga përbërësit e vektorit me gjatësinë e tij.
  • Merrni produktin e normalizuar të skalarit në vend të vektorit origjinal.
  • Meqenëse gjatësia është 1, ne mund të përjashtojmë elementët e gjatësisë nga ekuacioni. Së fundmi, ekuacioni i këndit i marrë është harkos (•).
• Bazuar në formulën e kosinusit, ne mund të përcaktojmë shpejt nëse këndi është akut ose i mpirë. Filloni me cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Anët e majta dhe të djathta të ekuacionit duhet të kenë të njëjtën shenjë (pozitive ose negative).
  • Meqenëse gjatësia është gjithmonë pozitive, cosθ duhet të ketë të njëjtën shenjë si produkti skalar.
  • Prandaj, nëse produkti është pozitiv, cosθ është gjithashtu pozitiv. Jemi në kuadratin e parë të rrethit njësi, me θ <π / 2 ose 90º. Këndi për të gjetur është këndi i mprehtë.
  • Nëse produkti skalar është negativ, cosθ është negativ. Jemi në kuadrantin e dytë të rrethit njësi, me π / 2 <θ ≤ π ose 90º <θ ≤ 180º. Ky është këndi i burgut.