Përmbajtje

• Hapat
• Këshilla

Shpejtësia përcaktohet si shpejtësia e një objekti në një drejtim të caktuar. Në shumë raste, për të gjetur shpejtësinë do të përdorim ekuacionin v = s / t, ku v është shpejtësia, s është distanca totale e zhvendosjes së objektit nga pozicioni i tij origjinal, dhe t është koha që i duhet objektit për të udhëtuar. shko deri ne fund. Sidoqoftë, në teori kjo formulë është vetëm për shpejtësinë mesatare e gjërave gjatë rrugës. Duke llogaritur shpejtësinë e objektit në çdo moment të caktuar përgjatë distancës. Kjo eshte Koha e transportit dhe përcaktohet nga ekuacioni v = (ds) / (dt), ose me fjalë të tjera, është derivat i ekuacionit për shpejtësinë mesatare.

Hapat

Pjesa 1 nga 3: Llogaritni shpejtësinë e menjëhershme

1. 

   
   
   Filloni me një ekuacion për llogaritjen e shpejtësisë nga distanca e zhvendosjes. Për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme, së pari duhet të kemi një ekuacion që tregon pozicionin e objektit (për sa i përket zhvendosjes) në çdo moment të caktuar. Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të ketë vetëm një ndryshore S në njërën anë dhe kthehu t Në anën tjetër (jo domosdoshmërisht vetëm një ndryshore), si kjo:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • Në këtë ekuacion, ndryshoret janë:

     s = zhvendosje. Distanca që objekti lëvizi nga pozicioni i tij origjinal. Për shembull, nëse një objekt mund të ecë 10 metra përpara dhe 7 metra prapa, distanca e tij totale e udhëtimit është 10 - 7 = 3 metra (jo 10 + 7 = 17m).

     t = koha. Kjo variabël është e thjeshtë pa shpjegim, zakonisht matet në sekonda.

2. 

   
   
   Merrni derivatin e ekuacionit. Derivati ​​i ekuacionit është një ekuacion tjetër që tregon pjerrësinë e distancës në një kohë të caktuar. Për të gjetur derivatin e ekuacionit sipas distancës së zhvendosjes, merrni diferencën e funksionit sipas rregullit të përgjithshëm të mëposhtëm për të llogaritur derivatin: Nëse y = a * x, Derivati ​​= a * n * x. Kjo vlen për të gjitha termat në anën "t" të ekuacionit.
   • Me fjalë të tjera, filloni të merrni diferencën nga e majta në të djathtë në anën "t" të ekuacionit. Kurdoherë që hasni ndryshoren "t", ju zbresni eksponentin me 1 dhe shumëzoni termin me eksponentin origjinal. Çdo term konstant (terma pa "t") do të zhduket sepse shumëzohen me 0. Procesi në të vërtetë nuk është aq i vështirë sa mund të mendoni - le të marrim ekuacionin në hapin e mësipërm si një shembull:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Zëvendësoni "s" me "ds / dt". Për të treguar se ekuacioni i ri është derivati ​​i katrorit origjinal, ne zëvendësojmë "s" me simbolin "ds / dt". Në teori, ky shënim është "derivati ​​i s në terma të t". Një mënyrë më e thjeshtë për të kuptuar këtë shënim, ds / dt është pjerrësia e çdo pike në ekuacionin fillestar. Për shembull, për të gjetur pjerrësinë e distancës të përshkruar nga ekuacioni s = -1.5t + 10t + 4 në kohën t = 5, ne zëvendësojmë "5" me t në derivatin e ekuacionit.
   • Në shembullin e mësipërm, derivati ​​i ekuacionit duket kështu:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Zëvendësoni një vlerë për t në ekuacionin e ri për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme. Tani që kemi ekuacionin derivativ, gjetja e shpejtësisë së çastit në çdo moment është shumë e lehtë. E vetmja gjë që duhet të bësh është të zgjedhësh një vlerë t dhe ta zëvendësosh atë me ekuacionin derivativ. Për shembull, nëse duam të gjejmë shpejtësinë e menjëhershme në t = 5, duhet vetëm të zëvendësojmë "5" me t në ekuacionin derivat ds / dt = -3t + 10. Do ta zgjidhim ekuacionin kështu:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metra / sekondë

   • Vini re se ne përdorim njësinë "metra / sekondë" më lart.Meqenëse po zgjidhim problemin me zhvendosjen në metra dhe kohën në sekonda, ku shpejtësia është saktësisht zhvendosja në kohë, kjo njësi është e përshtatshme.
   reklamë

Pjesa 2 nga 3: Vlerësimi i shpejtësisë së çastit në mënyrë grafike

1. 

   Grafikoni distancën e lëvizjes së objektit me kalimin e kohës. Në seksionin e mësipërm, ne thamë që derivati ​​është gjithashtu një formulë që na lejon të gjejmë pjerrësinë në çdo pikë të ekuacionit të marrë nga derivati. Në fakt, nëse tregon distancën lëvizëse të objektit në një grafik, Pjerrësia e grafikut në çdo pikë është shpejtësia e menjëhershme e objektit në atë pikë.
   • Për të grafikuar distancat e lëvizjes, përdorni boshtin x për kohën dhe boshtin y për zhvendosjen. Ju më pas përcaktoni një numër pikash duke futur vlerat e t në ekuacionin e lëvizjes, rezultati është vlerat s, dhe ju vendosni pikat t, s (x, y) në grafik.
   • Vini re se grafiku mund të shtrihet nën boshtin x. Nëse vija që tregon lëvizjen e objektit zbret në boshtin x, kjo do të thotë që objekti lëviz prapa nga pozicioni i tij origjinal. Në përgjithësi, grafiku nuk do të shtrihet prapa boshtit y - zakonisht nuk matim shpejtësinë e objekteve që lëvizin prapa në kohë!

2. 

   Zgjidhni një pikë P dhe një pikë Q të vendosura afër pikës P në grafik. Për të gjetur pjerrësinë e grafikut në pikën P, ne përdorim teknikën e "gjetjes së kufirit". Gjetja e një kufiri do të thotë marrja e dy pikave (P dhe Q (një pikë afër P)) në kurbë dhe gjetja e pjerrësisë së vijës që lidh ato dy pika, duke përsëritur këtë proces pasi distanca midis P dhe Q shkurtohet. gradualisht.
   • Supozoni se distanca e zhvendosjes ka pikat (1; 3) dhe (4; 7). Në këtë rast, nëse duam të gjejmë pjerrësinë në (1; 3) atëherë mund të vendosim (1; 3) = P. dhe (4; 7) = P.

3. 

   Gjeni pjerrësinë midis P dhe Q. Pjerrësia midis P dhe Q është ndryshimi i vlerave y për P dhe Q mbi ndryshimin e vlerave x për P dhe Q. Me fjalë të tjera, H = (y_Pyetje - y_P) / (x_Pyetje - x_P), ku H është pjerrësia ndërmjet dy pikave. Në këtë shembull, pjerrësia midis P dhe Q është:
   

   H = (y_Pyetje - y_P) / (x_Pyetje - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Përsëriteni disa herë duke lëvizur Q më afër P. Qëllimi është të ngushtohet distanca midis P dhe Q derisa të arrijnë një pikë të vetme. Sa më e vogël të jetë distanca midis P dhe Q, aq më afër do të jetë pjerrësia e atij segmenti pafundësisht të vogël në pjerrësinë në pikën P. Përsëritni disa herë për ekuacionin tonë shembullor, duke përdorur pikat (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) dhe (1.25; 3.49) japin Q dhe koordinatat fillestare të P janë (1; 3):
   

   Q = (2; 4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1.5; 3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1.25; 3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   Vlerëson pjerrësinë e segmentit jashtëzakonisht të vogël në kurbën e grafikut. Ndërsa Q i afrohet gjithnjë e më shumë P, H gradualisht do t'i afrohet pjerrësisë në P. Më në fund, në një vijë shumë të vogël, H do të jetë pjerrësia në P. Sepse nuk mund të matim ose llogarisim Gjatësia e një linje është jashtëzakonisht e vogël, prandaj vlerësoni pjerrësinë në P kur ajo është qartë e dukshme nga pikat që ne llogarisim.
   • Në shembullin e mësipërm, ndërsa lëvizim H më afër P, kemi vlerat për H prej 1,8; 1.9 dhe 1.96. Meqenëse këto numra po afrohen afër 2 mund të themi 2 është vlera e përafërt e pjerrësisë në P.
   • Mos harroni se pjerrësia në çdo pikë të grafikut është derivati ​​i ekuacionit të grafikut në atë pikë. Meqenëse grafiku përfaqëson zhvendosjen e një objekti me kalimin e kohës, siç e pamë në seksionin e mëparshëm, shpejtësia e tij e menjëhershme në çdo pikë është derivati ​​i distancës së zhvendosjes së objektit në pikën e problemit. Akses, mund të themi 2 metra / sek është një vlerësim i përafërt i shpejtësisë së çastit kur t = 1.
   reklamë

Pjesa 3 nga 3: Problemi shembullor

1. 

   Gjeni shpejtësinë e çastit kur t = 1 me ekuacionin e zhvendosjes s = 5t - 3t + 2t + 9. Ashtu si shembulli në pjesën e parë, por ky është një kub në vend të katrorit, kështu që ne mund ta zgjidhim problemin në të njëjtën mënyrë.
   • Së pari, merrni derivatin e ekuacionit:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Pastaj ne zëvendësojmë vlerën e t (4) në:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metra në sekondë

2. 

   Përdorni metodën e vlerësimit të grafikut për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme në (1; 3) për ekuacionin e zhvendosjes s = 4t - t. Për këtë problem, ne përdorim koordinatat (1; 3) si pikë P, por duhet të gjejmë Q pika të tjera të vendosura pranë tij. Atëherë gjithçka që duhet të bëjmë është të gjejmë vlerat H dhe të nxjerrim vlerën e vlerësuar.
   • Së pari, gjejmë pikat Q kur t = 2; 1.5; 1.1 dhe 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, pra Q = (2; 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, pra Q = (1.5; 7.5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, pra Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, pra kaq Q = (1.01; 3.0704)

   • Tjetra do të marrim vlerat H:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1.5; 7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1.1; 3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1.01; 3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Meqenëse vlerat H duket se janë më afër 7, mund ta themi atë 7 metra në sekondë është vlerësimi i përafërt i shpejtësisë së çastit në koordinatë (1; 3).
   reklamë

Këshilla

• Për të gjetur nxitimin (ndryshimi i shpejtësisë me kalimin e kohës), përdorni metodën në pjesën e parë për të marrë derivatin e ekuacionit të zhvendosjes. Pastaj merrni përsëri derivatin për ekuacionin e derivatit që sapo gjetët. Rezultati është që ju keni një ekuacion për përshpejtimin në një pikë të caktuar në kohë - gjithçka që duhet të bëni është të lidhni kohën.
• Ekuacioni që tregon lidhjen midis Y (distanca e zhvendosjes) dhe X (koha) mund të jetë shumë i thjeshtë, si Y = 6x + 3. Në këtë rast, pjerrësia është konstante dhe nuk është e nevojshme të merret derivati ​​për të llogaritur pjerrësinë, domethënë, ndjek formën bazë të ekuacionit Y = mx + b për një grafik linear, dmth pjerrësia është e barabartë me 6.
• Distanca e zhvendosjes është si distanca por ka një drejtim, kështu që është një sasi vektoriale, dhe shpejtësia është një sasi skalare. Distancat e udhëtimit mund të jenë negative, ndërsa distancat mund të jenë vetëm pozitive.