Përmbajtje

• Hapa
• Metoda 1 nga 4: Monomiale në emërues
• Metoda 2 nga 4: Binomial në emërues
• Metoda 3 nga 4: Shprehje e kundërt
• Metoda 4 nga 4: Emëruesi i rrënjës kubike

Në matematikë, nuk është e zakonshme të lini një rrënjë ose një numër irracional në emëruesin e një thyese. Nëse emëruesi është rrënjë, shumëzoni thyesën me ndonjë term ose shprehje për të hequr qafe rrënjën. Llogaritësit modern ju lejojnë të punoni me rrënjë në emërues, por programi arsimor kërkon që studentët të jenë në gjendje të heqin qafe irracionalitetin në emërues.

Hapa

Metoda 1 nga 4: Monomiale në emërues

1. 1 Mësoni thyesën. Thyesa shkruhet saktë nëse nuk ka rrënjë në emërues. Nëse emëruesi ka një katror ose ndonjë rrënjë tjetër, duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me ndonjë monom për të hequr qafe rrënjën. Ju lutemi vini re se numëruesi mund të përmbajë një rrënjë - kjo është normale.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Emëruesi këtu ka një rrënjë ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me rrënjën e emëruesit. Nëse emëruesi përmban një monom, është mjaft e lehtë të racionalizosh një pjesë të tillë. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin monom (domethënë, ju shumëzoni thyesën me 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Nëse po futni një shprehje për një zgjidhje në një kalkulator, sigurohuni që të vendosni kllapa rreth secilës pjesë për t'i ndarë ato.
3. 3 Thjeshtoni thyesën (nëse është e mundur). Në shembullin tonë, mund të shkurtohet duke ndarë numëruesin dhe emëruesin me 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metoda 2 nga 4: Binomial në emërues

1. 1 Mësoni thyesën. Nëse emëruesi i tij përmban shumën ose ndryshimin e dy monomialeve, njëra prej të cilave përmban një rrënjë, është e pamundur të shumëzoni thyesën me një binom të tillë për të hequr qafe irracionalitetin.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Për ta kuptuar këtë, shkruani thyesën ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$ku monomali ${ displaystyle a}$ ose ${ displaystyle b}$ përmban rrënjën. Në këtë rast: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Kështu, monomali ${ displaystyle 2ab}$ do të përfshijë ende rrënjën (nëse ${ displaystyle a}$ ose ${ displaystyle b}$ përmban rrënjën).
   • Le të hedhim një vështrim në shembullin tonë.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Ju shikoni që nuk mund të heqni qafe monomin në emërues ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me konjugimin binom të binomit në emërues. Një binom i konjuguar është një binom me të njëjtin monom, por me shenjën e kundërt midis tyre. Për shembull, binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ të konjuguar në një binom ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Kuptoni kuptimin e kësaj metode. Konsideroni përsëri thyesën ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me konjugimin binomial në binomin në emërues: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Kështu, nuk ka monome që përmbajnë rrënjë. Që nga monomet ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$ janë në katror, ​​rrënjët do të eliminohen.
3. 3 Thjeshtoni thyesën (nëse është e mundur). Nëse ka një faktor të përbashkët si në numërues ashtu edhe në emërues, anulojeni atë. Në rastin tonë, 4 - 2 = 2, të cilat mund të përdoren për të zvogëluar fraksionin.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metoda 3 nga 4: Shprehje e kundërt

1. 1 Shqyrtoni problemin. Nëse keni nevojë të gjeni një shprehje që është e kundërta e asaj të dhënë, e cila përmban një rrënjë, do t'ju duhet të racionalizoni fraksionin që rezulton (dhe vetëm atëherë ta thjeshtoni atë). Në këtë rast, përdorni metodën e përshkruar në seksionet e para ose të dyta (në varësi të detyrës).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Shkruani shprehjen e kundërt. Për ta bërë këtë, ndani 1 me shprehjen e dhënë; nëse jepet një thyesë, ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Mos harroni se çdo shprehje është një thyesë me 1 në emërues.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me ndonjë shprehje për të hequr qafe rrënjën. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtën shprehje, ju shumëzoni thyesën me 1, domethënë vlera e thyesës nuk ndryshon. Në shembullin tonë, na është dhënë një binom, kështu që shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me binomin e konjuguar.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Thjeshtoni thyesën (nëse është e mundur). Në shembullin tonë, 4 - 3 = 1, kështu që shprehja në emëruesin e thyesës mund të anulohet plotësisht.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Përgjigja është një konjugim binom me këtë binom. Justshtë thjesht një rastësi.

Metoda 4 nga 4: Emëruesi i rrënjës kubike

1. 1 Mësoni thyesën. Problemi mund të përmbajë rrënjë kubike, edhe pse kjo është mjaft e rrallë. Metoda e përshkruar është e zbatueshme për rrënjët e çdo shkalle.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Rishkruani rrënjën si fuqi. Këtu nuk mund të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me ndonjë monom ose shprehje, sepse racionalizimi kryhet në një mënyrë paksa të ndryshme.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një fuqi, në mënyrë që eksponenti në emërues të bëhet 1. Në shembullin tonë, shumëzoni thyesën me ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Mos harroni se kur gradat shumëfishohen, treguesit e tyre shtohen: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Kjo metodë është e zbatueshme për çdo rrënjë të shkallës n. Nëse jepet një thyesë ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Kështu, eksponenti në emërues bëhet 1.
4. 4 Thjeshtoni thyesën (nëse është e mundur).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Nëse është e nevojshme, shkruani rrënjën në përgjigje. Në shembullin tonë, faktorin eksponent e ndani në dy faktorë: ${ displaystyle 1/3}$ dhe ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$