Përmbajtje

• Hapa
• Metoda 1 nga 3: Si të gjeni anën e panjohur
• Metoda 2 nga 3: Gjetja e një këndi të panjohur
• Metoda 3 nga 3: Probleme Shembull
• Këshilla

Teorema e kosinusit përdoret gjerësisht në trigonometri. Përdoret kur punoni me trekëndësha të parregullt për të gjetur sasi të panjohura siç janë brinjët dhe këndet. Teorema është e ngjashme me teoremën e Pitagorës dhe është mjaft e lehtë për t’u mbajtur mend. Teorema e kosinusit thotë se në çdo trekëndësh ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Hapa

Metoda 1 nga 3: Si të gjeni anën e panjohur

1. 1 Shkruani vlerat e njohura. Për të gjetur anën e panjohur të një trekëndëshi, duhet të njihni dy anët e tjera dhe këndin midis tyre.
   • Për shembull, duke pasur parasysh një trekëndësh XYZ. Ana YX është 5 cm, ana YZ është 9 cm, dhe këndi Y është 89 °. Cila është ana XZ?
2. 2 Shkruani formulën e teoremës së kosinusit. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ku ${ displaystyle c}$ - palë e panjohur, ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus i këndit përballë anës së panjohur, ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$ - dy anë të njohura.
3. 3 Futni vlerat e njohura në formulë. Variablat ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$ tregojnë dy anë të njohura. E ndryshueshme ${ displaystyle C}$ është këndi i njohur që shtrihet midis anëve ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$.
   • Në shembullin tonë, ana XZ është e panjohur, kështu që në formulë ajo shënohet si ${ displaystyle c}$... Meqenëse anët YX dhe YZ janë të njohura, ato shënohen me ndryshoret ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$... E ndryshueshme ${ displaystyle C}$ është këndi Y. Pra, formula do të shkruhet si më poshtë: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Gjeni kosinusin e një këndi të njohur. Bëni atë me një kalkulator. Futni një vlerë këndi, dhe pastaj klikoni ${ displaystyle COS}$... Nëse nuk keni një llogaritës shkencor, gjeni një tabelë të kosinusit në internet, për shembull, këtu. Gjithashtu në Yandex, mund të futni "kosinusin e shkallëve X" (zëvendësoni vlerën e këndit për X), dhe motori i kërkimit do të shfaqë kosinusin e këndit.
   • Për shembull, kosinusi është 89 ° ≈ 0.01745. Kështu që: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Shumëzoni numrat. Shumohen ${ displaystyle 2ab}$ nga kosinusi i një këndi të njohur.
   • Për shembull:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Palosni katrorët e anëve të njohura. Mos harroni, për të katrorizuar një numër, ai duhet të shumëzohet në vetvete. Së pari, katror numrat përkatës, dhe pastaj shtoni vlerat që rezultojnë.
   • Për shembull:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Zbrit dy numra. Ju do të gjeni ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Për shembull:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Merrni rrënjën katrore të kësaj vlere. Për ta bërë këtë, përdorni një kalkulator. Kështu e gjeni anën e panjohur.
   • Për shembull:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ stili i ekranit c = 10.2191}$
     Pra, ana e panjohur është 10.2191 cm.

Metoda 2 nga 3: Gjetja e një këndi të panjohur

1. 1 Shkruani vlerat e njohura. Për të gjetur këndin e panjohur të një trekëndëshi, duhet të njihni të tre anët e trekëndëshit.
   • Për shembull, duke pasur parasysh një trekëndësh RST. CP anësore = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Gjeni vlerën e këndit S.
2. 2 Shkruani formulën e teoremës së kosinusit. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ku ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus me një kënd të panjohur, ${ displaystyle c}$ - një anë e njohur përballë një cepi të panjohur, ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$ - dy festa të tjera të famshme.
3. 3 Gjeni vlerat a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} dhe c{ displaystyle c}. Pastaj futini ato në formulë.
   • Për shembull, ana RT është e kundërta me këndin e panjohur S, kështu që ana RT është ${ displaystyle c}$ në formulë. Partitë e tjera do ${ displaystyle a}$ dhe ${ displaystyle b}$... Pra, formula do të shkruhet si më poshtë: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Shumëzoni numrat. Shumohen ${ displaystyle 2ab}$ nga kosinusi i këndit të panjohur.
   • Për shembull, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 I ngritur c{ displaystyle c} në një shesh. Kjo do të thotë, shumëzoni vetë numrin.
   • Për shembull, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Palosni katrorët a{ displaystyle a} dhe b{ displaystyle b}. Por së pari, katror numrat përkatës.
   • Për shembull:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izoloni kosinusin e këndit të panjohur. Për ta bërë këtë, zbritni shumën ${ displaystyle a ^ {2}}$ dhe ${ displaystyle b ^ {2}}$ nga të dy anët e ekuacionit. Pastaj ndani secilën anë të ekuacionit me faktorin në kosinusin e këndit të panjohur.
   • Për shembull, për të izoluar kosinusin e një këndi të panjohur, zbritni 164 nga të dy anët e ekuacionit dhe pastaj ndani secilën anë me -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Llogarit kosinusin e anasjelltë. Kjo do të gjejë vlerën e këndit të panjohur. Në kalkulator, funksioni i kundërt i kosinusit shënohet ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Për shembull, arkolozina e 0.0125 është 82.8192. Pra këndi S është 82.8192 °.

Metoda 3 nga 3: Probleme Shembull

1. 1 Gjeni anën e panjohur të trekëndëshit. Anët e njohura janë 20 cm dhe 17 cm, dhe këndi midis tyre është 68 °.
   • Meqenëse ju janë dhënë dy anë dhe këndi midis tyre, mund të përdorni teoremën e kosinusit. Shkruani formulën: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Ana e panjohur është ${ displaystyle c}$... Lidhni vlerat e njohura në formulën: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Llogarit ${ displaystyle c ^ {2}}$, duke respektuar rendin e operacioneve matematikore:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Merrni rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit. Kështu e gjeni anën e panjohur:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Pra, ana e panjohur është 20.8391 cm.
2. 2 Gjeni këndin H në trekëndëshin GHI. Dy anët ngjitur me këndin H janë 22 dhe 16 cm Ana përballë këndit H është 13 cm.
   • Meqenëse të tre anët janë dhënë, teorema e kosinusit mund të përdoret. Shkruani formulën: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Ana përballë këndit të panjohur është ${ displaystyle c}$... Lidhni vlerat e njohura në formulën: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Thjeshtoni shprehjen që rezulton:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izoloni kosinusin:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Gjeni kosinusin e anasjelltë. Kjo është mënyra se si llogaritni këndin e panjohur:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Kështu, këndi H është 35.7985 °.
3. 3 Gjeni gjatësinë e shtegut. Shtigjet e lumit, Kodrës dhe Kënetës formojnë një trekëndësh. Gjatësia e Shtegut të Lumit është 3 km, gjatësia e Shtegut Kodrinor është 5 km; këto shtigje ndërpriten me njëra -tjetrën në një kënd prej 135 °. Gjurma e kënetës lidh dy skajet e shtigjeve të tjera. Gjeni gjatësinë e Shtegut të Kënetës.
   • Shtigjet formojnë një trekëndësh. Ju duhet të gjeni gjatësinë e rrugës së panjohur, e cila është ana e trekëndëshit. Meqenëse janë dhënë gjatësitë e dy shtigjeve të tjera dhe këndi midis tyre, teorema e kosinusit mund të përdoret.
   • Shkruani formulën: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Rruga e panjohur (Këneta) do të shënohet si ${ displaystyle c}$... Lidhni vlerat e njohura në formulën: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Llogarit ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Merrni rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit. Kështu e gjeni gjatësinë e rrugës së panjohur:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Pra, gjatësia e Shtegut të Kënetës është 7.4306 km.

Këshilla

• Easiershtë më e lehtë të përdorësh teoremën e sinusit. Prandaj, së pari zbuloni nëse mund të zbatohet në problemin e dhënë.