Përmbajtje

• Hapa
• Këshilla

Grafiku i një ekuacioni kuadratik të formës ax + bx + c ose a (x - h) + k është një parabolë (kurba në formë U). Për të vizatuar një ekuacion të tillë, duhet të gjeni kulmin e parabolës, drejtimin e tij dhe pikat e kryqëzimit me akset X dhe Y. Nëse ju jepet një ekuacion relativisht i thjeshtë kuadratik, atëherë mund të zëvendësoni vlera të ndryshme të "x" "në të, gjeni vlerat përkatëse të" y "dhe ndërtoni një grafik ...

Hapa

1. 1 Ekuacioni kuadratik mund të shkruhet në një formë standarde dhe në një formë jo standarde. Ju mund të përdorni çdo lloj ekuacioni për të vizatuar një ekuacion kuadratik (metoda e vizatimit është paksa e ndryshme). Si rregull, në probleme, ekuacionet kuadratike jepen në një formë standarde, por ky artikull do t'ju tregojë për të dy llojet e shkrimit të një ekuacioni kuadratik.
   • Forma standarde: f (x) = ax + bx + c, ku a, b, c janë numra realë dhe a ≠ 0.
     • Për shembull, dy ekuacione të formës standarde: f (x) = x + 2x + 1 dhe f (x) = 9x + 10x -8.
   • Forma jo standarde: f (x) = a (x - h) + k, ku a, h, k janë numra realë dhe a ≠ 0.
     • Për shembull, dy ekuacione të një forme jo standarde: f (x) = 9 (x - 4) + 18 dhe -3 (x - 5) + 1.
   • Për të vizatuar një ekuacion kuadratik të çdo lloji, së pari duhet të gjeni kulmin e parabolës, e cila ka koordinata (h, k). Koordinatat e kulmit të parabolës në ekuacionet e formës standarde llogariten me formulat: h = -b / 2a dhe k = f (h); koordinatat e kulmit të parabolës në ekuacionet e një forme jo standarde mund të merren drejtpërdrejt nga ekuacionet.
2. 2 Për të vizatuar grafikun, duhet të gjeni vlerat numerike të koeficientëve a, b, c (ose a, h, k). Në shumicën e problemeve, ekuacionet kuadratike jepen me vlera numerike të koeficientëve.
   • Për shembull, në ekuacionin standard f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Për shembull, në një ekuacion jo standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Llogaritni h në ekuacionin standard (në jo standarde është dhënë tashmë) duke përdorur formulën: h = -b / 2a.
   • Në shembullin tonë të ekuacionit standard, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • Në shembullin tonë të një ekuacioni jo standard, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Llogaritni k në ekuacionin standard (në jo standarde është dhënë tashmë). Mos harroni se k = f (h), domethënë, ju mund të gjeni k duke zëvendësuar vlerën e gjetur të h në vend të "x" në ekuacionin origjinal.
   • Ju gjetët se h = -4 (për ekuacionin standard). Për të llogaritur k, zëvendësoni këtë vlerë me "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Në një ekuacion jo standard, k = 12.
5. 5 Vizatoni një kulm me koordinatat (h, k) në rrafshin koordinativ. h është vizatuar përgjatë boshtit X dhe k është vizatuar përgjatë boshtit Y. Pjesa e sipërme e një parabole është ose pika më e ulët (nëse parabola është drejtuar lart) ose pika më e lartë (nëse parabola është drejtuar poshtë).
   • Në shembullin tonë të ekuacionit standard, kulmi ka koordinata (-4, 7). Vizatoni këtë pikë në planin koordinativ.
   • Në shembullin tonë të një ekuacioni të personalizuar, kulmi ka koordinata (5, 12). Vizatoni këtë pikë në planin koordinativ.
6. 6 Vizatoni boshtin e simetrisë së parabolës (sipas dëshirës). Aksi i simetrisë kalon nëpër kulmin e parabolës paralel me boshtin Y (domethënë rreptësisht vertikal). Aksi i simetrisë e ndan parabolën në gjysmë (domethënë, parabola është pasqyrë-simetrike rreth këtij aksi).
   • Në ekuacionin tonë shembullor standard, boshti i simetrisë është një vijë e drejtë paralele me boshtin Y dhe që kalon nëpër pikën (-4, 7). Edhe pse kjo linjë nuk është pjesë e vetë parabolës, ajo jep një ide të simetrisë së parabolës.
7. 7 Përcaktoni drejtimin e parabolës - lart ose poshtë. Kjo është shumë e lehtë për tu bërë.Nëse koeficienti "a" është pozitiv, atëherë parabola drejtohet lart, dhe nëse koeficienti "a" është negativ, atëherë parabola drejtohet poshtë.
   • Në shembullin tonë të ekuacionit standard, f (x) = 2x + 16x + 39, parabola po tregon lart, pasi a = 2 (koeficienti pozitiv).
   • Në shembullin tonë të një ekuacioni jo -standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, parabola gjithashtu drejtohet lart, pasi a = 4 (koeficienti pozitiv).
8. 8 Nëse është e nevojshme, gjeni dhe vizatoni x-interceptin. Këto pika do t'ju ndihmojnë shumë kur vizatoni një parabolë. Mund të ketë dy, një ose asnjë (nëse parabola drejtohet lart dhe kulmi i saj shtrihet mbi boshtin X, ose nëse parabola drejtohet poshtë dhe kulmi i saj shtrihet nën boshtin X). Për të llogaritur koordinatat e pikave të kryqëzimit me boshtin X, bëni sa më poshtë:
   • Vendosni ekuacionin në zero: f (x) = 0 dhe zgjidheni atë. Kjo metodë funksionon me ekuacione të thjeshta kuadratike (veçanërisht ato jo standarde), por mund të jetë jashtëzakonisht e vështirë për ekuacionet komplekse. Në shembullin tonë:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin X kanë koordinata (11,0) dhe (13,0).
   • Faktorizoni ekuacionin kuadratik të formës standarde: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), ku dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c Pastaj vendosni çdo binom në 0 dhe gjeni vlerat për "x". Për shembull:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Në këtë rast, ekziston një pikë e vetme e kryqëzimit të parabolës me boshtin x me koordinata (-1,0), sepse në x + 1 = 0 x = -1.
   • Nëse nuk mund të faktorizoni ekuacionin, zgjidheni atë duke përdorur formulën kuadratike: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • Për shembull: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14.18) /- 10
     • x = (13.18 / -10) dhe (-15.18 / -10). Pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin X kanë koordinata (-1,318,0) dhe (1,518,0).
     • Në shembullin tonë, ekuacionet e formës standarde 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Meqenëse është e pamundur të nxirret rrënja katrore e një numri negativ, në këtë rast parabola nuk kryqëzon boshtin X.
9. 9 Gjeni dhe vizatoni përgjimin y sipas nevojës. Veryshtë shumë e lehtë - futni x = 0 në ekuacionin origjinal dhe gjeni vlerën për "y". Ndërprerja Y është gjithmonë e njëjtë. Shënim: në ekuacionet e formës standarde, pika e kryqëzimit ka koordinata (0, s).
   • Për shembull, parabola e ekuacionit kuadratik 2x + 16x + 39 kryqëzohet me boshtin Y në pikën me koordinatat (0, 39), meqenëse c = 39. Por kjo mund të llogaritet:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, domethënë parabola e këtij ekuacioni kuadratik kryqëzon boshtin Y në pikën me koordinatat (0, 39).
   • Në shembullin tonë të një ekuacioni jo standard 4 (x-5) + 12, ndërprerja y llogaritet si më poshtë:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, domethënë parabola e këtij ekuacioni kuadratik kryqëzon boshtin Y në pikën me koordinata (0, 112).
10. 10 Ju keni gjetur (dhe vizatuar) kulmin e parabolës, drejtimin e saj dhe pikat e kryqëzimit me akset X dhe Y. Ju mund të ndërtoni parabola nga këto pika ose të gjeni dhe vizatoni pika shtesë dhe vetëm atëherë të ndërtoni një parabolë. Për ta bërë këtë, futni vlera të shumta x (në të dyja anët e kulmit) në ekuacionin origjinal për të llogaritur vlerat përkatëse y.
    • Le të kthehemi në ekuacionin x + 2x + 1. Ju tashmë e dini se pika e kryqëzimit të grafikut të këtij ekuacioni me boshtin X është pika me koordinata (-1,0). Nëse parabola ka vetëm një pikë kryqëzimi me boshtin X, atëherë kjo është kulmi i parabolës që shtrihet në boshtin X. Në këtë rast, një pikë nuk është e mjaftueshme për të ndërtuar një parabolë të rregullt. Pra, gjeni disa pikë shtesë.
      • Le të themi x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Koordinatat e pikës: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Koordinatat e pikës: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Koordinatat e pikës: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Koordinatat e pikës: (-3,4).
      • Vizatoni këto pika në planin koordinativ dhe vizatoni një parabolë (lidhni pikat me një kurbë U). Ju lutemi vini re se parabola është absolutisht simetrike - çdo pikë në njërën degë të parabolës mund të pasqyrohet (në lidhje me boshtin e simetrisë) në degën tjetër të parabolës. Kjo do t'ju kursejë kohë, pasi nuk keni nevojë të llogaritni koordinatat e pikave në të dy degët e parabolës.

Këshilla

• Rrumbullakoni numrat thyesorë (nëse kjo është kërkesë e mësuesit) - kështu krijoni një parabolë të saktë.
• Nëse në f (x) = ax + bx + c koeficientët b ose c janë të barabartë me zero, atëherë nuk ka terma me këta koeficientë në ekuacion.Për shembull, 12x + 0x + 6 bëhet 12x + 6 sepse 0x është 0.