Llogaritni rrënjët e kubit me dorë

Përmbajtje

Të shkelësh
Pjesa 1 nga 3: Punimi i një detyre shembullore
Pjesa 2 nga 3: Gjetja e rrënjës së kubit me vlerësime të përsëritura
Këshilla
Paralajmërime
Nevojat

Përdorimi i një kalkuluesi, llogaritja e rrënjës së kubit të çdo numri nuk është më shumë sesa shtypja e disa tastave. Por mbase nuk keni një kalkulator ose dëshironi të bëni përshtypje për miqtë tuaj me aftësinë tuaj për të punuar me rrënjë kubike pa duar. Ekziston një metodë që duket pak e vështirë në shikim të parë, por funksionon shumë thjesht me pak praktikë. Usefulshtë e dobishme të keni disa njohuri të gatshme në fushën e aftësive aritmetike dhe llogaritjen e numrave kub.

Të shkelësh

Pjesa 1 nga 3: Punimi i një detyre shembullore

Vizato problemin. Zgjidhja e rrënjës së kubit të një numri do të duket si zgjidhja e një ndarjeje të gjatë, me disa ndryshime këtu dhe atje. Hapi i parë është të shkruani saktë deklaratën.
- Shkruani numrin për të cilin dëshironi të përcaktoni rrënjën e kubit. Shkruani numrat në grupe me tre, me presjen si pikënisjen. Në këtë shembull, ju do të përcaktoni rrënjën e kubit prej 10. Shkruajeni këtë si 10.000000. Zero janë të nevojshme për saktësinë e përgjigjes.
- Vizato një rrënjë katrore kubike mbi numrin. Ky shërben për të njëjtin qëllim si linja në ndarjen e gjatë. Dallimi i vetëm është forma e simbolit.
- Vendosni një presje mbi vijë, drejtpërdrejt mbi presje në numrin origjinal.
Njihni kubet e njësive. Këto do t'i përdorni në llogaritjet tuaja. Ka të bëjë me kompetencat e treta vijuese:
- 13=1∗1∗1=1{ stili i shfaqjes 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Përcaktoni shifrën e parë të përgjigjes tuaj. Zgjidhni një numër që, në kub, jep rezultatin më të madh të mundshëm që është më pak se grupi i parë i tre numrave.
  - Në këtë shembull, grupi i parë i tre numrave shumëzuar së bashku është i barabartë me 10. Gjeni kubin më të madh që është më pak se 10. Kjo është 8, dhe rrënja e saj e kubit është 2.
  - Shkruani numrin 2 mbi rrënjën katrore, mbi numrin 10. Shkruani vlerën e 23{ stili i shfaqjes 2 ^ {3}}Bëni konfigurimin për shifrën tjetër. Shkruani grupin tjetër me tre numra në pjesën tjetër dhe vizatoni një vijë vertikale të shkurtër në të majtë të numrit që rezulton. Ky do të jetë numri që ne përdorim për të përcaktuar shifrën tjetër në zgjidhjen e rrënjës tuaj të kubit. Në këtë shembull, kjo bëhet 2000, e cila krijohet nga pjesa e mbetur 2 e shumës së mëparshme të zbritjes, me grupin prej tre zero që morët.
    - Në të majtë të vijës vertikale, shkruani zgjidhjen e pjesëtuesit tjetër, si shumë e tre numrave të veçantë. Tregoni hapësirat boshe për këta numra, duke nënvizuar tre pika bosh me shenja plus poshtë.
  - Gjeni fillimin e pjesëtuesit tjetër. Për pjesën e parë të pjesëtuesit, shkruaj treqind herë katrorin e çdo gjëje që është mbi shenjën e rrënjës katrore. Në këtë rast është 2; 2 ^ 2 është 4, dhe 4 * 300 = 1200. Kështu që shkruaj 1200 në hapësirën e parë bosh. Pjestuesi për këtë hap të zgjidhjes bëhet 1200, plus diçka tjetër që do të llogaritni për një moment.
  - Gjeni numrin tjetër në rrënjën tuaj të kubit. Gjeni shifrën tjetër të zgjidhjes suaj duke zgjedhur atë që mund të shumëzoni me pjesëtuesin (1200 është diçka tjetër), dhe më pas zbriteni atë nga pjesa e mbetur e vitit 2000. Kjo mund të jetë vetëm 1, sepse 2 herë 1200 është e barabartë me 2400, që është më e madhe se 2000 Shkruani numrin 1 në hapësirën tjetër mbi shenjën e rrënjës katrore.
  - Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtuesit. Pjestuesi në këtë hap të zgjidhjes përbëhet nga tre pjesë. Pjesa e parë është 1200 që tashmë keni. Tani do të duhet të shtoni dy terma të tjerë për të përfunduar pjesëtuesin.
    - Tani llogaritni 3 herë 10 herë secilën nga dy shifrat në zgjidhjen tuaj mbi shenjën e rrënjës katrore. Për këtë ushtrim të thjeshtë, kjo do të thotë 3 * 10 * 2 * 1, e cila është e barabartë me 60. Shtojeni këtë në 1200 që keni pasur tashmë dhe merrni 1260.
    - Në fund, shtoni katrorin e shifrës së fundit. Në këtë shembull është 1; dhe 1 ^ 2 është akoma 1. Pra, pjesëtuesi total është 1200 + 60 + 1, ose 1261. Shkruajeni këtë në të majtë të vijës vertikale.
  - Shumëzo dhe zbrit. Raundoni këtë pjesë të zgjidhjes duke shumëzuar shifrën e fundit të zgjidhjes suaj - në këtë rast, numrin 1 - sa pjesëtuesi që sapo llogaritët (1261). 1 * 1261 = 1261. Shkruajeni këtë më poshtë 2000 dhe zbritni 1261 për të marrë 739.
  - Vendosni të shkoni më tej për një përgjigje më të saktë. Pas përfundimit të zbritjes së secilit hap, duhet të kontrolloni nëse përgjigjja juaj është mjaft e saktë. Për rrënjën e kubit prej 10, pas shumës së parë minus, rrënja e kubit ishte vetëm 2, e cila nuk është me të vërtetë e saktë. Tani, pas raundit të dytë, zgjidhja është 2.1.
    - Ju mund të kontrolloni saktësinë e këtij rezultati duke përdorur kubin: 2.1 * 2.1 * 2.1. Rezultati është 9.261.
    - Nëse mendoni se rezultati është mjaft i saktë, mund të ndaloni. Nëse doni një përgjigje më precize, duhet të kaloni një raund tjetër.
  - Përcaktoni pjesëtuesin për raundin tjetër. Në këtë rast, për më shumë praktikë dhe një përgjigje më precize, përsëritni hapat për një raund tjetër, si më poshtë:
    - Sillni grupin tjetër me tre numra. Në këtë rast, këto janë tre zero, të cilat vijnë pas pjesës së mbetur 739 për të formuar 739,000.
    - Filloni pjesëtuesin me 300 herë katrorin e numrit aktualisht mbi shenjën e rrënjës katrore. Kjo është 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Shumëzoni pjesëtuesin me rezultatin. Pasi të keni llogaritur pjesëtuesin në këtë raund tjetër dhe të zgjeroni zgjidhjen tuaj me një shifër më shumë, veproni si më poshtë:
      - Shumëzoni pjesëtuesin me shifrën e fundit të zgjidhjes suaj. 135,475 * 5 = 677,375.
      - Zbrit. 739,000-677,375 = 61,625.
      - Konsideroni nëse zgjidhja 2.15 është mjaft e saktë. Llogaritni kubin e tij dhe do të merrni ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Shkruani përgjigjen tuaj përfundimtare. Rezultati mbi rrënjën katrore është rrënja e kubit, me një saktësi prej tre shifrash të konsiderueshme. Në këtë shembull, rrënja e kubit prej 10 është e barabartë me 2.15. Kontrolloni këtë duke llogaritur 2.15 ^ 3 = 9.94 i cili mund të rrumbullakoset në 10. Nëse keni nevojë për një përgjigje më të saktë, vazhdoni ta bëni këtë derisa të jeni të kënaqur.

Pjesa 2 nga 3: Gjetja e rrënjës së kubit me vlerësime të përsëritura

Përdorni numrat kub për të vendosur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm. Kur ju kërkohet rrënja e kubit të një numri të caktuar, filloni duke zgjedhur një kub që është sa më afër tij, pa qenë më i madh se numri juaj i synuar.
- Për shembull, nëse doni të gjeni rrënjën e kubit prej 600, mbani mend (ose përdorni një kub kub) atë 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Vlerësoni shifrën tjetër. Ju fshini shifrën e parë përmes njohurive tuaja për disa numra kub. Për shifrën tjetër, vlerësoni një numër midis 0 dhe 9 bazuar në atë se ku bie numri juaj i synuar midis dy numrave kufij.
  - Në shembullin e problemit, 600 (numri juaj i synuar) bie rreth gjysma e rrugës midis numrave limit 512 dhe 729. Kështu që ju zgjidhni 5 si numrin tuaj të ardhshëm.
- Testoni vlerësimin tuaj duke përcaktuar kubin e tij. Provoni të shumëzoni vlerësimin me të cilin po punoni aktualisht për të gjetur se sa afër jeni me numrin e synuar.
  - Në këtë shembull, ju po shumëzoheni 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Rregulloni vlerësimin tuaj sipas nevojës. Pas ngritjes në kubik të vlerësimit tuaj më të fundit, kontrolloni rezultatin kundrejt numrit tuaj të synuar. Nëse rezultati është më i madh se caku, vlerësimi juaj duhet të jetë më i vogël. Nëse rezultati është më i vogël se qëllimi, duhet ta rregulloni atë lart derisa të arrini qëllimin.
    - Për shembull, në këtë deklaratë 8,53{ stili i shfaqjes 8.5 ^ {3}}Vlerësoni shifrën tjetër për një përgjigje më të saktë. Vazhdoni këtë procedurë të vlerësimit të numrave nga 0 në 9 derisa përgjigjja juaj të jetë aq e saktë sa dëshironi. Para çdo raundi të vlerësimit, ju filloni duke kontrolluar pozicionin e llogaritjes tuaj të fundit midis numrave të kufirit.
      - Në këtë ushtrim shembull, raundi juaj i fundit i llogaritjeve tregon se ${ stili i shfaqjes 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Vazhdoni të vlerësoni dhe rregulloni. Bëni këtë sa herë që të jetë e nevojshme, ngrini supozimin tuaj në fuqi kubike dhe shikoni se si krahasohet me numrin e synuar. Shikoni për numra që janë vetëm poshtë ose vetëm mbi numrin e synuar.
        Për këtë ushtrim shembull, ju do të filloni duke vërejtur se ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Vazhdoni derisa të arrini saktësinë e dëshiruar. Vazhdoni të vlerësoni, krahasoni dhe rivlerësoni për aq kohë sa është e nevojshme derisa zgjidhja juaj të jetë aq e saktë sa dëshironi. Vini re se me çdo dhjetor, numrat tuaj të synuar i afrohen gjithnjë e më shumë numrit aktual.
        Për shembullin e rrënjës së kubit prej 600, duke supozuar dy numra dhjetorë, ju jeni më pak se 1 larg nga numri i synuar me 8.43. Nëse vazhdoni në tre presje dhjetore, do ta shihni ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Rishikoni binomin e Njutonit. Për të kuptuar pse ky algoritëm punon për përcaktimin e rrënjëve të kubit, së pari duhet të mendoni përsëri se si duket kubi si binom. Ju ndoshta e keni mësuar këtë në matematikën e shkollës së mesme (dhe si shumica e njerëzve, ju ndoshta shpejt e keni harruar këtë). Zgjidhni dy variabla ${ stili i shfaqjes A}$ Shkruaji binomin në formë kubike. Tani po punojmë mbrapsht duke përcaktuar së pari kubin dhe pastaj duke parë arsyen e funksionimit të zgjidhjes së rrënjës së kubit. Ne kemi nevojë për vlerat e ${ stili i shfaqjes (10A + B) ^ {3}}$ Njihni kuptimin e ndarjes së gjatë. Vini re se metoda e rrënjës së kubit funksionon ashtu si ndarja e gjatë. Në ndarjen e gjatë shihni që dy faktorë të shumëzuar së bashku japin numrin me të cilin keni filluar. Në këtë llogaritje, numri që ju po kërkoni (numri që shfaqet përfundimisht mbi rrënjën katrore) është rrënja e kubit. Kjo do të thotë se është i barabartë me termin (10A + B). A dhe B aktuale janë tani të parëndësishme, për sa kohë që e kuptoni marrëdhënien me përgjigjen.
        Shikoni versionin e zgjeruar. Kur shikoni binomin e Njutonit, mund të shihni pse algoritmi i rrënjës së kubit është i saktë. Shihni se si pjesëtuesi në secilin hap të algoritmit është i barabartë me shumën e katër termave që duhet të llogaritni dhe shtoni. Këto terma lindin si më poshtë:
        Termi i parë përmban një shumëfish të 1000. Ju së pari zgjidhni një numër që mund të ngrihet në kub dhe përsëri mbetet brenda intervalit të ndarjes së gjatë si numri i parë. Kjo jep termin 1000A ^ 3 në binom.
        Termi i dytë i binomit të Njutonit ka 300 si koeficient të tij. (Kjo vjen nga ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Saktësia e shikimit rritet. Kur punoni për një ndarje të gjatë, çdo hap që përfundoni i jep saktësi të madhe përgjigjes tuaj. Për shembull, problemi shembull i punuar në këtë artikull është për përcaktimin e rrënjës së kubit prej 10. Në hapin e parë, zgjidhja është 2, sepse ${ stili i shfaqjes 2 ^ {3}}$ vjen afër, por është më pak se 10. Në fakt, ajo mban ${ stili i shfaqjes 2 ^ {3} = 8}$ . Pas raundit të dytë, zgjidhja juaj është 2.1. Pasi ta keni përpunuar këtë, do të merrni ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9,261}$ , e cila është shumë më afër rezultatit të dëshiruar (10). Pas raundit të tretë, ju keni 2.15, e cila ju jep ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Vazhdoni të punoni në grupe me tre numra dhe do të merrni një përgjigje sa më të saktë sa të doni.

Këshilla

Si çdo gjë tjetër, aftësitë tuaja në matematikë do të përmirësohen me praktikën. Sa më shumë që praktikoni, aq më mirë do të jeni në gjendje të bëni këto lloj llogaritjesh.